Problema 2 · Álgebra UDG 2023

Tema: Transformacions geomètriques en coordenades homogènies · Del examen Examen Final d'Àlgebra - Gener 2023 (2023)

Enunciado

Problema 2 (2 punts). Moviments i transformacions al pla en coordenades homogènies

Al pla afí euclidià:

[0.5p] Determineu la matriu en coordenades homogènies corresponent a la simetria ortogonal respecte de la recta $3x - 4y + 1 = 0$ .

[0.5p] Determineu la matriu en coordenades homogènies corresponent a l'homotècia generalitzada amb centre al punt $(1, -3)$ i raons $\frac{1}{2}$ i $4$ respecte de les direccions $(1, 2)$ i $(2, -1)$ , respectivament.

[0.25p] Calculeu la matriu de la transformació resultant d'aplicar en primer lloc la simetria de l'apartat (a) i, posteriorment, l'homotècia generalitzada de l'apartat (b):

[0.75p] Apliqueu el moviment compost de l'apartat (c) al polígon definit pels vèrtexs $A_1 = (0, 0)$ , $A_2 = (1, 1)$ , $A_3 = (3, 0)$ i $A_4 = (1, 2)$ . Indiqueu les coordenades dels nous vèrtexs, calculeu les àrees dels polígons original i final, i establiu en quina proporció es troben:

$A_1' = ($ , $)$

$A_2' = ($ , $)$

$A_3' = ($ , $)$

$A_4' = ($ , $)$

Àrea inicial:

Àrea final:

Proporció (Àrea final / Àrea inicial):

Enunciado: Problema 2 · Álgebra UDG 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Matriu S, fila 1, col 1

Solución: 7/25 / 0.28

a) Matriu S, fila 1, col 2

Solución: 24/25 / 0.96

a) Matriu S, fila 1, col 3

Solución: -6/25 / -0.24

a) Matriu S, fila 2, col 1

Solución: 24/25 / 0.96

a) Matriu S, fila 2, col 2

Solución: -7/25 / -0.28

a) Matriu S, fila 2, col 3

Solución: 8/25 / 0.32

a) Matriu S, fila 3, col 1

Solución: 0

a) Matriu S, fila 3, col 2

Solución: 0

a) Matriu S, fila 3, col 3

Solución: 1

b) Matriu H, fila 1, col 1

Solución: 33/10 / 3.3

b) Matriu H, fila 1, col 2

Solución: -7/5 / -1.4

b) Matriu H, fila 1, col 3

Solución: -13/2 / -6.5

b) Matriu H, fila 2, col 1

Solución: -7/5 / -1.4

b) Matriu H, fila 2, col 2

Solución: 6/5 / 1.2

b) Matriu H, fila 2, col 3

Solución: 2

b) Matriu H, fila 3, col 1

Solución: 0

b) Matriu H, fila 3, col 2

Solución: 0

b) Matriu H, fila 3, col 3

Solución: 1

c) Matriu composta M, fila 1, col 1

Solución: -21/50 / -0.42

c) Matriu composta M, fila 1, col 2

Solución: 89/25 / 3.56

c) Matriu composta M, fila 1, col 3

Solución: -387/50 / -7.74

c) Matriu composta M, fila 2, col 1

Solución: 19/25 / 0.76

c) Matriu composta M, fila 2, col 2

Solución: -42/25 / -1.68

c) Matriu composta M, fila 2, col 3

Solución: 68/25 / 2.72

c) Matriu composta M, fila 3, col 1

Solución: 0

c) Matriu composta M, fila 3, col 2

Solución: 0

c) Matriu composta M, fila 3, col 3

Solución: 1

d) Coordenada x del vèrtex A1'

Solución: -387/50 / -7.74

d) Coordenada y del vèrtex A1'

Solución: 68/25 / 2.72

d) Coordenada x del vèrtex A2'

Solución: -23/5 / -4.6

d) Coordenada y del vèrtex A2'

Solución: 9/5 / 1.8

d) Coordenada x del vèrtex A3'

Solución: -9

d) Coordenada y del vèrtex A3'

Solución: 5

d) Coordenada x del vèrtex A4'

Solución: -26/25 / -1.04

d) Coordenada y del vèrtex A4'

Solución: 3/25 / 0.12

d) Àrea inicial del polígon

Solución: 3/2 / 1.5

d) Àrea final del polígon

Solución: 3

d) Proporció entre l'àrea final i l'àrea inicial

Solución: 2 / 2:1

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