Problema 1 · Álgebra UDG 2023

Problema 1 (2 punts). Model matricial i cadenes de Màrkov d'un robot de rescat

Durant la fase d'entrenament d'un robot de rescat, aquest pot desplaçar-se per tres zones diferenciades: I, II i III. L'algorisme de navegació fa que el robot canviï de zona exactament un cop cada hora, sense romandre mai a la mateixa zona dues hores consecutives. Addicionalment es coneixen les transicions següents:

Si es troba a la zona I, hi ha un 60% de probabilitat que es mogui a la zona II.

Si es troba a la zona II, la probabilitat de passar a la zona III és del 50%.

Si es troba a la zona III, hi ha un 70% de probabilitat que es desplaci a la zona I.

a)

[0.5p] Establiu el model matricial que descriu el procés. Introduïu els elements de la matriu de transició de probabilitats $A$:

b)

[0.5p] Determineu el valor propi dominant de la matriu obtinguda i el seu vector propi associat normalitzat (com a vector de probabilitat).

$x =$ $y =$ $z =$

c)

[0.5p] Suposant que inicialment el robot comença a la zona I, quina és la probabilitat que es trobi a la zona II al cap de 5 hores? (en tant per u o percentatge):

d)

[0.5p] A llarg termini, quina és la probabilitat de trobar el robot a cadascuna de les zones? Expresseu els resultats en percentatge:

Zona I:

Zona II:

Zona III: