Examen de Matemáticas I UB 2019 · final gener 2019

Exercici 1 (10 punts). Qüestions breus teoricopràctiques

Responeu de manera raonada les següents preguntes breus:

a. (2,5 punts) Suposeu que $A$ és una matriu quadrada real d'ordre $3 \times 3$ amb polinomi característic que presenta una arrel real i dues arrels complexes no reals. Quina conclusió podem extreure sobre la diagonalització de la matriu $A$ tant sobre $\mathbb{R}$ com sobre $\mathbb{C}$?

Sí

No

Sí

No

Exercici 1 (10 punts). Qüestions breus teoricopràctiques

Responeu de manera raonada les següents preguntes breus:

b)

(2,5 punts) Analitzeu si els conjunts següents són o no compactes:

$$X = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: 0 \le x \le y\} \subseteq \mathbb{R}^2,$$

$$Y = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 \le 1,\, 0 \le z \le 1\} \subseteq \mathbb{R}^3.$$

Sí

No

Sí

No

d)

(2,5 punts) Determineu en quins punts de la corba

$$y^2 = x^3 - 9x$$

el Teorema de la Funció Implícita garanteix que es pot aïllar localment $y$ en funció de $x$.

Exercici 1 (10 punts). Qüestions breus teoricopràctiques

Responeu de manera raonada les següents preguntes breus:

c. (2,5 punts) Sigui $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ un camp vectorial. Definiu què significa que $F$ sigui conservatiu i indiqueu quin criteri permet comprovar si ho és o no.

Exercici 2 (10 punts). Diagonalització unitària d'una matriu hermítica

Considereu la matriu complexa següent:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & i & i \\ -i & 1 & 1 \\ -i & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Comproveu que $A$ és una matriu hermítica i trobeu una diagonalització unitària de la mateixa. És a dir, determineu una matriu unitària $U \in \mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{C})$ tal que $U^*AU$ sigui diagonal, on $U^* = \bar{U}^T$.

1.

2.

$\lambda_1$ (multiplicitat 2):

$\lambda_2$ (multiplicitat 1):

3.

4.

Exercici 3 (10 punts). Resolució d'equació diferencial lineal de segon ordre

Es considera l'equació diferencial lineal de segon ordre amb coeficients constants següent:$$y'' - 2y' + y = x^2 + \cos(x).$$

Terme independent · Solució particular

Polinomi de grau $r$ · $y = x^m P(x)$ · $P(x)$ polinomi de grau $r$,

$m = \text{mult. de } 0 \text{ com arrel del polinomi característic}$

$Q(x)e^{ax}$

$Q(x)$ polinomi de grau $r$,

$a$ constant · $y = x^m P(x)e^{ax}$ · $P(x)$ polinomi de grau $r$,

$m = \text{mult. de } a \text{ com arrel del polinomi característic}$

$e^{ax}(Q_1(x)\cos(bx) + Q_2(x)\sin(bx))$

$Q_i(x)$ polinomi de grau $r_i$,

$a, b$ constants · $y = x^m e^{ax}(P_1(x)\cos(bx) + P_2(x)\sin(bx))$ · $P_i(x)$ polinomis de grau $\max(r_1, r_2)$,

$m = \text{mult. de } a+bi \text{ com arrel del polinomi característic}$

a.

Calculeu la solució general de l'equació.

b.

Determineu la solució que compleix les condicions inicials $y(0) = 1$ i $y'(0) = 0$.

Exercici 4 (10 punts). Optimització d'una funció de dues variables en un compacte

Donada la funció escalar

$$f(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 3y^2$$

i la regió tancada del pla

$$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 2\}:$$

a)

Justifiqueu, sense fer cap càlcul algebraic addicional, si podem garantir que la funció $f$ assoleix màxim i mínim absoluts a la regió $D$.

b)

Determineu l'existència i els valors dels extrems absoluts de $f$ a la regió $D$.

Exercici 5 (10 punts). Càlcul d'integrals de línia de camps vectorials

Sigui el camp vectorial $F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definit per$$F(x, y) = (3x^2y + y^3, 2x + 5y^2).$$

a.

(3 punts) Trobeu la integral de línia de $F$ sobre el segment rectilini orientat que uneix el punt $A = (0, 0)$ amb el punt $B = (0, 3)$.

b.

(7 punts) Calculeu la integral de línia de $F$ al llarg de la circumferència de radi 3 centrada a l'origen, orientada en sentit horari.