Exercici 3 · Matemáticas I UB 2019

Exercici 3 (10 punts). Resolució d'equació diferencial lineal de segon ordre

Es considera l'equació diferencial lineal de segon ordre amb coeficients constants següent:$$y'' - 2y' + y = x^2 + \cos(x).$$

Terme independent · Solució particular

Polinomi de grau $r$ · $y = x^m P(x)$ · $P(x)$ polinomi de grau $r$,

$m = \text{mult. de } 0 \text{ com arrel del polinomi característic}$

$Q(x)e^{ax}$

$Q(x)$ polinomi de grau $r$,

$a$ constant · $y = x^m P(x)e^{ax}$ · $P(x)$ polinomi de grau $r$,

$m = \text{mult. de } a \text{ com arrel del polinomi característic}$

$e^{ax}(Q_1(x)\cos(bx) + Q_2(x)\sin(bx))$

$Q_i(x)$ polinomi de grau $r_i$,

$a, b$ constants · $y = x^m e^{ax}(P_1(x)\cos(bx) + P_2(x)\sin(bx))$ · $P_i(x)$ polinomis de grau $\max(r_1, r_2)$,

$m = \text{mult. de } a+bi \text{ com arrel del polinomi característic}$

a.

Calculeu la solució general de l'equació.

b.

Determineu la solució que compleix les condicions inicials $y(0) = 1$ i $y'(0) = 0$.