Exercici 2 · Matemáticas I UB 2019

Tema: Espais vectorials complexos, producte hermític i diagonalització unitària · Del examen Examen final gener 2019 (2019)

Enunciado

Exercici 2 (10 punts). Diagonalització unitària d'una matriu hermítica

Considereu la matriu complexa següent:

$A = \begin{pmatrix} 1 & i & i \\ -i & 1 & 1 \\ -i & 1 & 1 \end{pmatrix}.$

Comproveu que $A$ és una matriu hermítica i trobeu una diagonalització unitària de la mateixa. És a dir, determineu una matriu unitària $U \in \mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{C})$ tal que $U^*AU$ sigui diagonal, on $U^* = \bar{U}^T$ .

$\lambda_1$ (multiplicitat 2):

$\lambda_2$ (multiplicitat 1):

Enunciado: Exercici 2 · Matemáticas I UB 2019

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

1. Comprovació del caràcter hermític de $A$

Solución: $A^* = \bar{A}^T = A$

2. Valor propi $\lambda_1$ (multiplicitat 2)

Solución: 0

2. Valor propi $\lambda_2$ (multiplicitat 1)

Solución: 3

3. Subespais propis i base ortonormal

Solución: $e_1 = \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ , $e_2 = \left(-\frac{i}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right)$ , $e_3 = \left(\frac{i}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

4. Matriu unitària $U$ i matriu diagonal $D$

Solución: $U = \begin{pmatrix} -\frac{i}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{i}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$ , $D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 3 · 2023

Más ejercicios de Espais vectorials complexos, producte hermític i diagonalització unitària

Exercici 3 · 2023