Exercici 4 · Matemáticas I UB 2019

Enunciado

Exercici 4 (10 punts). Optimització d'una funció de dues variables en un compacte

Donada la funció escalar

$f(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 3y^2$

i la regió tancada del pla

$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 2\}:$

Justifiqueu, sense fer cap càlcul algebraic addicional, si podem garantir que la funció $f$ assoleix màxim i mínim absoluts a la regió $D$ .

Determineu l'existència i els valors dels extrems absoluts de $f$ a la regió $D$ .

Enunciado: Exercici 4 · Matemáticas I UB 2019

Según los criterios oficiales de corrección

a) Quin teorema garanteix l'existència d'extrems absoluts?

Solución: Teorema de Weierstrass

a) Justificació breu (propietats de la funció i del domini):

Solución: D és compacte (tancat i fitat) i f és contínua per ser polinòmica.

b) Punt crític a l'interior de D:

Solución: (0,0)

b) Valor del mínim absolut de f a D:

Solución: -2√2 / -2.828

b) Punt on s'assoleix el mínim absolut (x,y):

Solución: (-√2,0) / (-sqrt(2), 0)

b) Valor del màxim absolut de f a D:

Solución: 31/4 / 7.75

b) Punts on s'assoleix el màxim absolut:

Solución: (-1/2, √7/2) i (-1/2, -√7/2)

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.