Exercici 1.c - Integrals de línia, camps conserva… · Matemáticas I UB 2019

Definiu què significa que $F$ sigui conservatiu

Solución: Un camp vectorial $F$ és conservatiu si la integral de línia al llarg d'una corba només depèn dels seus extrems i no del camí recorregut (o equivalentment, existeix un camp escalar de classe $C^1$, $\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, tal que $\nabla \varphi = F$).

Indiqueu quin criteri permet comprovar si ho és o no

Solución: Si $F = (f_1, \ldots, f_n)$ és de classe $C^1$ en tot $\mathbb{R}^n$ (que és simplement connex), $F$ és conservatiu si i només si les derivades creuades coincideixen: $\frac{\partial f_j}{\partial x_i} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ per a tot $i, j \in \{1, \ldots, n\}$ (el camp és irrotacional).