Examen de Matemáticas I UB 2018 · final (15 de gener de 2018)

Exercici 1 (10 punts). Equacions diferencials

Resoleu cadascuna de les equacions diferencials següents:

a)

(3 punts) $y' - \dfrac{y}{x+1} = x - 1$

b)

(4 punts) $y' = \dfrac{2xy - y^2}{x^2 + 3xy}$

c)

(3 punts) $y''' - 3y'' + 4y = 5\sin x$

Nota: Cerqueu una solució particular de la forma $A\sin x + B\cos x$, essent $A$ i $B$ constants.

Exercici 2 (10 punts). Sistema d'equacions diferencials

a)

[8 punts] Resoleu el sistema d'equacions diferencials lineals següent:

$$\begin{cases} x' = -y + z \\ y' = -x + z \\ z' = -3x - 3y + 4z \end{cases}$$

b)

[2 punts] Trobeu la solució que satisfà les condicions inicials $x(0) = 0$, $y(0) = 0$, $z(0) = -1$.

Exercici 3 (10 punts). Extrems de funcions de diverses variables

Considerem la funció $f(x, y) = \frac{1}{3}x^3 + 4xy + 2y^2 + 3x$.

a.

(5 punts) Calculeu els punts crítics de $f$ a $\mathbb{R}^2$ i classifiqueu-los.

b.

(5 punts) Calculeu el màxim i mínim absoluts de $f$ a la regió tancada i fitada:

$$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: 0 \le x \le 1,\; 0 \le y \le 1\}$$

Exercici 4 (10 punts). Camps vectorials

Considerem els camps vectorials següents:

$$F_1(x, y, z) = (yz + e^{y z},\ xz + x e^{y z} + \cos z,\ xy + x e^{y z} - y\sin z + e^z)$$

$$F_2(x, y, z) = (yz + e^{y z},\ xz + x z e^{y z} + \cos z,\ xy + x y e^{y z} - y\sin z + e^z)$$

a)

[3 punts] Quin dels dos camps $F_1$ i $F_2$ és conservatiu?

$F_1$

$F_2$

b)

[7 punts] Pel camp que sigui conservatiu, calculeu la integral de línia al llarg de l'arc d'hèlix donat per la parametrització $\sigma(t) = (\cos t, \sin t, t)$, amb $t \in [0, 2\pi]$.

Exercici 5.a - Integrals múltiples

Sigui $D$ la regió del pla definida per: $$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y \le 0\}$$

a)

[6 punts] Calculeu el volum del cilindroide de base $D$ i tapa donada per la superfície $z = x$.

Exercici 5.b - Teorema de Green

Sigui $D$ la regió del pla definida per: $$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y \le 0\}$$

b)

[4 punts] Sigui $C$ la frontera de $D$, vista com a corba del pla orientada en sentit antihorari (sentit directe). Calculeu la integral de línia del camp vectorial $F$ al llarg de $C$, on:

$$F(x, y) = \left(x^3 y + 3xy + e^x,\ \frac{1}{4} x^4 + \sin y\right)$$