Examen de Matemáticas I UB 2018 · reavaluació febrer 2018

Problema 1 (10 punts). Diagonalització i sistemes d'equacions diferencials

Sigui $a \in \mathbb{R}$ un paràmetre real i considerem la matriu següent:$$A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

a)

[4 punts] Determineu per a quins valors del paràmetre $a$ la matriu $A$ és diagonalitzable per semblança sobre $\mathbb{R}$.

b)

[4 punts] Fixat $a = -1$, trobeu una matriu diagonal $D$ i una matriu invertible $C$ tals que compleixin $C^{-1}AC = D$.

c)

[2 punts] Fent ús dels resultats de l'apartat anterior, resoleu el sistema d'equacions diferencials:$$\begin{cases} x' = -x + z \\ y' = y \\ z' = -2x + 2z \end{cases}$$

Problema 2 (10 punts). Resolució d'equacions diferencials

Trobeu la solució general de les equacions diferencials següents:

a)

[3 punts] $y' + 2xy = x^3$

b)

[4 punts] $y' = \dfrac{y^3}{xy^2 + x^3}$

c)

[3 punts] $y''' + 3y'' + 3y' + 2y = 2x$

Nota: Cerqueu una solució particular de la forma $y_p(x) = Ax + B$, amb $A, B$ constants reals.

Donat el camp vectorial $F(x,y) = (xy^2 + 3xy, 2x^2y - 4x)$:

a)

[6 punts] Trobeu el valor de la integral de línia de $F$ sobre l'arc de circumferència parametritzat per $\sigma(t) = (2\cos t, 2\sin t)$ per a $t \in [0, \pi/2]$, orientat en sentit directe.

b)

[4 punts] Calculeu la integral de línia de $F$ al llarg del segment rectilini que uneix el punt $(2,0)$ amb el punt $(0,2)$.

Donada la funció $f(x,y) = y^2 - x^2$ i els tres subconjunts de $\mathbb{R}^2$:

$$D_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 4\}$$

$$D_2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 < 9\}$$

$$D_3 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x \geq 3\}$$

a)

[2 punts] Representeu gràficament les regions $D_1$, $D_2$ i $D_3$.

b)

[2 punts] Indiqueu en quina o quines d'aquestes tres regions és possible garantir amb certesa que $f$ assoleix un màxim absolut i un mínim absolut. Justifiqueu la resposta.

c)

[6 punts] Determineu el valor del màxim absolut i del mínim absolut de $f$ a la regió seleccionada a l'apartat anterior, així com els punts concrets on s'assoleixen.

Problema 5 (10 punts). Integració doble i càlcul d'àrees

Considerem el domini pla $D$ acotat per la paràbola $y = x^2 - 2$ i la recta $y = x$.

a)

(3 punts) Dibuixeu la regió $D$, indicant de manera explícita les coordenades dels punts d'intersecció entre la paràbola i la recta.

b)

(7 punts) Calculeu el valor de la integral doble $\iint_D 1\,dxdy$ i deduïu a partir d'aquest resultat l'àrea de la regió $D$.