Examen de Álgebra Lineal UB 2012 · Parcial - Punt de Control 1 (Curs 2012/13)

Exercici 1 (5 punts). Determinants i sistemes d'equacions lineals

a. (1 punt) Sigui $A = (c_1, c_2, c_3, c_4)$ una matriu d'ordre $4 \times 4$ expressada per columnes, tal que $|A| = 3$. Calculeu de manera justificada el determinant de les matrius següents:

•

•

•

•

Exercici 1 (5 punts). Determinants i sistemes d'equacions lineals

b)

(2,5 punts) Considereu el sistema lineal amb paràmetres reals $a$ i $b$:

$$\begin{cases} ax + bz = 2 \\ x + y - 3z = 2 \\ 2x + z = a \end{cases}$$

Discutiu-lo en funció dels valors de $a$ i $b$, adjuntant una taula resum amb tots els casos possibles.

c)

(1,5 punts) Resoleu el sistema anterior en el cas particular $a = 2$ i $b = 1$ emprant el mètode de la matriu inversa.

Sigui el subconjunt de matrius reals $M_{2\times 2}$ definit per:

$$F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2\times 2} \;\middle|\; b = 3c \text{ i } a = d \right\}$$

a.

(1,25 punts) Demostreu que $F$ constitueix un subespai vectorial de $M_{2\times 2}$.

b.

(1 punt) Considerant el subespai $G = \left\langle \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \right\rangle$, determineu de forma justificada si la matriu $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 8 & 0 \end{pmatrix}$ pertany a $G$.

c.

(1,5 punts) Trobeu el valor del paràmetre $k$ pel qual es compleix la igualtat:

$$G = \left\langle \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2k & k \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \right\rangle$$

Justifiqueu clarament el procediment.

$k =$

Sigui el subconjunt de matrius reals $M_{2\times 2}$ definit per:

$$F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2\times 2} \;\middle|\; b = 3c \text{ i } a = d \right\}$$

d)

(1,25 punts) Trobeu les coordenades de la matriu $m = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$ respecte de la base $B = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \right\}$.

$\alpha =$

$\beta =$