Exercici 2.a-c - Subespais vectorials · Álgebra Lineal UB 2012

Sigui el subconjunt de matrius reals $M_{2\times 2}$ definit per:

$$F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2\times 2} \;\middle|\; b = 3c \text{ i } a = d \right\}$$

a.

(1,25 punts) Demostreu que $F$ constitueix un subespai vectorial de $M_{2\times 2}$.

b.

(1 punt) Considerant el subespai $G = \left\langle \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \right\rangle$, determineu de forma justificada si la matriu $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 8 & 0 \end{pmatrix}$ pertany a $G$.

c.

(1,5 punts) Trobeu el valor del paràmetre $k$ pel qual es compleix la igualtat:

$$G = \left\langle \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2k & k \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \right\rangle$$

Justifiqueu clarament el procediment.

$k =$