Problema 2 · Càlcul UB 2013

a. Motiu pel qual no és correcta l'aplicació directa de la regla de Barrow.

Solución: B) La funció $f(x) = 1/x^2$ presenta una discontinuïtat asimptòtica no afitada en $x = 0$, punt interior de $[-1, 1]$.

b. Raonament de l'error i càlcul de la integral impròpia.

Solución: El resultat no pot ser cert perquè l'integrand $f(x) = \frac{1}{x^2}$ és una funció estrictament positiva per a tot $x \neq 0$, de manera que la seva integral (si convergeix) no pot ser un nombre negatiu. A més, el Teorema Fonamental del Càlcul no és directament aplicable perquè $f(x)$ presenta una discontinuïtat asimptòtica no afitada en el punt interior $x = 0$. Es tracta d'una integral impròpia de segona espècie, que s'ha de descompondre en dos límits: $$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{M\to 0^-} \int_{-1}^{M} \frac{1}{x^2}\,dx + \lim_{m\to 0^+} \int_{m}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx$$ Integrem cada part: $$= \lim_{M\to 0^-} \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{M} + \lim_{m\to 0^+} \left[-\frac{1}{x}\right]_{m}^{1}$$ $$= \lim_{M\to 0^-} \left(-\frac{1}{M} - 1\right) + \lim_{m\to 0^+} \left(-1 + \frac{1}{m}\right) = (+\infty - 1) + (-1 + \infty) = +\infty$$ Per tant, la integral és divergent i el seu valor tendeix a $+\infty$.

c. Caràcter i resultat de la integral impròpia.

Solución: Divergent / +∞