Examen de Álgebra UB 2018 · Final Gener 2018

Exercici 1 (10 punts). Discussió de sistema i càlcul de determinant

a)

(7 p) Estudieu i classifiqueu el següent sistema d'equacions lineals segons els diferents valors que puguin prendre els paràmetres reals $a, b \in \mathbb{R}$:

$$\left\{\begin{array}{rcl} x_1 + ax_2 - 2x_3 + x_4 &=& 0 \\ 2x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 &=& -1 \\ x_1 + x_2 + ax_4 &=& b \\ (2a - 2)x_2 - 4x_3 + 3x_4 &=& 2 \end{array}\right.$$

Exercici 1 (10 punts). Discussió de sistema i càlcul de determinant

b)

(3 p) Trobeu el valor del següent determinant en funció de $a \in \mathbb{R}$:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & -2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 2a-2 & -4 & 2 \end{vmatrix}$$

Exercici 2 (10 punts). Subespais vectorials de R4

Siguin els subespais vectorials de $\mathbb{R}^4$ definits com:

$$E = \left\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \mid 2x - 2y + z = 0,\; t = 0\right\},\quad F = \langle(1,2,2,0), (0,-2,-4,1)\rangle$$

a)

(2 p) Trobeu una base de $E$ i determineu les equacions implícites de $F$.

b)

(5 p) Calculeu la dimensió tant de $E + F$ com de $E \cap F$. Doneu una base per a $E \cap F$ i escriviu les equacions implícites de $E + F$.

c)

(3 p) Proporcioneu una base del complement ortogonal $F^\perp$ (respecte al producte escalar usual).

Siguin $\mathcal{E} = \{e_1, e_2, e_3\}$ una base de $\mathbb{R}^3$ i $\mathcal{U} = \{u_1, u_2, u_3, u_4\}$ una base de $\mathbb{R}^4$. Considerem l'aplicació lineal $f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^4$ que té com a matriu associada en aquestes bases:

$$M = M(f)_{\mathcal{E}\mathcal{U}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$

a.

Trobeu la dimensió de $\operatorname{Ker}(f)$ i una base del subespai imatge $\operatorname{Im}(f)$.

b.

Considerant els vectors:

$$\begin{aligned} w_1 &= u_1 + 2u_2 + u_3 & v_1 &= e_1 - e_2 \\ w_2 &= 2u_1 + u_3 + u_4 & v_2 &= 2e_2 + e_3 \\ w_3 &= u_1 + u_2 + 2u_3 & v_3 &= 2e_1 - e_3 \\ w_4 &= u_1 + u_4 & & \end{aligned}$$

proveu que $\mathcal{V} = \{v_1, v_2, v_3\}$ és una base de $\mathbb{R}^3$ i que $\mathcal{W} = \{w_1, w_2, w_3, w_4\}$ ho és de $\mathbb{R}^4$.

c.

Calculeu la imatge del vector $v$ les coordenades del qual en la base $\mathcal{V}$ són $(3, 2, 1)_{\mathcal{V}}$.

d.

Determineu la matriu de $f$ respecte a les bases $\mathcal{E}$ de $\mathbb{R}^3$ i $\mathcal{W}$ de $\mathbb{R}^4$, és a dir, $M(f)_{\mathcal{E},\mathcal{W}}$.

Exercici 4 (10 punts). Diagonalització d'una matriu amb paràmetre

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 4+a & 1 & 1 \\ a^2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

(5 p) Determineu per a quins valors del paràmetre $a \in \mathbb{R}$ la matriu $A$ és diagonalitzable.

b)

(5 p) Per al valor concret $a = -2$, trobeu una matriu diagonal $D$ associada a $A$ i una base de $\mathbb{R}^3$ formada per vectors propis de $A$.