Exercici 3 · Álgebra UB 2018

Siguin $\mathcal{E} = \{e_1, e_2, e_3\}$ una base de $\mathbb{R}^3$ i $\mathcal{U} = \{u_1, u_2, u_3, u_4\}$ una base de $\mathbb{R}^4$. Considerem l'aplicació lineal $f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^4$ que té com a matriu associada en aquestes bases:

$$M = M(f)_{\mathcal{E}\mathcal{U}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$

a.

Trobeu la dimensió de $\operatorname{Ker}(f)$ i una base del subespai imatge $\operatorname{Im}(f)$.

b.

Considerant els vectors:

$$\begin{aligned} w_1 &= u_1 + 2u_2 + u_3 & v_1 &= e_1 - e_2 \\ w_2 &= 2u_1 + u_3 + u_4 & v_2 &= 2e_2 + e_3 \\ w_3 &= u_1 + u_2 + 2u_3 & v_3 &= 2e_1 - e_3 \\ w_4 &= u_1 + u_4 & & \end{aligned}$$

proveu que $\mathcal{V} = \{v_1, v_2, v_3\}$ és una base de $\mathbb{R}^3$ i que $\mathcal{W} = \{w_1, w_2, w_3, w_4\}$ ho és de $\mathbb{R}^4$.

c.

Calculeu la imatge del vector $v$ les coordenades del qual en la base $\mathcal{V}$ són $(3, 2, 1)_{\mathcal{V}}$.

d.

Determineu la matriu de $f$ respecte a les bases $\mathcal{E}$ de $\mathbb{R}^3$ i $\mathcal{W}$ de $\mathbb{R}^4$, és a dir, $M(f)_{\mathcal{E},\mathcal{W}}$.