Examen de Álgebra UB 2017 · Punt de Control 1r Semestre - Àlgebra Lineal

Problema 1 [2 punts]

Responeu als següents apartats:

a.

Considereu la matriu real següent:

$$A = \begin{pmatrix} k & k & 4 \\ 0 & k & 5 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$$

Determineu per a quins valors del paràmetre real $k$ la matriu $A$ és invertible. [0,5 punts]

b.

Es considera una matriu $B \in M_{4\times 4}(\mathbb{R})$ a la qual s'aplica de forma successiva la seqüència d'operacions elementals per files següent:

$$f_2 \leftarrow f_2 - 3f_3,\quad f_3 \leftarrow f_3 + 4f_1,\quad f_2 \leftrightarrow f_3,\quad f_2 \leftarrow \frac{1}{2}f_2,\quad f_4 \leftarrow f_4 - 2f_2$$

En finalitzar el procés, s'obté la matriu triangular:

$$B' = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculeu el determinant de la matriu de partida $B$. [1,5 punts]

Problema 2 (3 punts). Discussió i resolució d'un sistema lineal amb paràmetres

Es considera el sistema d'equacions lineals amb paràmetres $a, b \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} ax + bz = 2 \\ ax + ay + 4z = 4 \\ ay + 2z = b \end{cases}$$

a.

Estudieu i classifiqueu el sistema en funció dels diferents valors dels paràmetres reals $a$ i $b$. Elaboreu una taula resum amb tots els casos possibles, indicant els graus de llibertat sempre que el sistema resulti ser compatible indeterminat. [2 punts]

b.

Per a la configuració concreta $a = 1$ i $b = 2$, resoleu el sistema aplicant la regla de Cramer. [1 punt]

Problema 3 (5 punts). Espais vectorials, bases i subespais a M2×2

Resoleu de manera justificada les qüestions següents:

a.

Justifiqueu si $\mathbb{R}^3$ pot constituir un espai vectorial ben definit sobre el cos dels nombres complexos ($\mathbb{C}$), considerant les operacions habituals de suma interna i producte per escalars extern.

b.

Determineu per a quins valors dels paràmetres $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ el conjunt $B$ forma una base de l'espai vectorial $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ sobre el cos dels reals:

$$B = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right\}$$

c.

Sigui $G$ el subespai de $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ generat per:

$$G = \left\langle \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \right\rangle$$

Esbrineu per a quin valor del paràmetre $a$ la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ pertany a $G$.

d.

Es defineix el subespai vectorial $H \subseteq \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ format per totes les matrius que admeten la forma general:

$$\begin{pmatrix} a+c & b+c \\ 0 & b+c \end{pmatrix}, \quad a,b,c \in \mathbb{R}$$

Trobeu una base i la dimensió del subespai $H$.