Problema 3 · Álgebra UB 2017

Problema 3 (5 punts). Espais vectorials, bases i subespais a M2×2

Resoleu de manera justificada les qüestions següents:

a.

Justifiqueu si $\mathbb{R}^3$ pot constituir un espai vectorial ben definit sobre el cos dels nombres complexos ($\mathbb{C}$), considerant les operacions habituals de suma interna i producte per escalars extern.

b.

Determineu per a quins valors dels paràmetres $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ el conjunt $B$ forma una base de l'espai vectorial $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ sobre el cos dels reals:

$$B = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right\}$$

c.

Sigui $G$ el subespai de $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ generat per:

$$G = \left\langle \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \right\rangle$$

Esbrineu per a quin valor del paràmetre $a$ la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ pertany a $G$.

d.

Es defineix el subespai vectorial $H \subseteq \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ format per totes les matrius que admeten la forma general:

$$\begin{pmatrix} a+c & b+c \\ 0 & b+c \end{pmatrix}, \quad a,b,c \in \mathbb{R}$$

Trobeu una base i la dimensió del subespai $H$.