Examen de Álgebra UB 2017 · 1r Semestre Gener 2017

Exercici 1 (4 punts). Canvis de base en espais de matrius

Considerem l'espai vectorial de matrius reals $M_{3\times 2}(\mathbb{R})$ i un subespai vectorial $F$. Es disposa de les següents dades:

La matriu de canvi de base de $B$ a $C$ ve donada per:

$$C_{BC} = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

La base canònica de l'espai és:

$$C = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$$

D'altra banda, $U$ i $V$ són dues bases del subespai $F$ formades per les matrius:

$$U = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \right\}, \quad V = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \right\}$$

I es defineix la matriu:

$$\vec{m} = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

a.

Indica quins són els vectors que formen la base $B$ i determina les coordenades de $\vec{m}$ respecte a la base $B$. [0.5 p]

b.

Troba les components de la matriu $\vec{m}$ referides a la base $U$. [0.5 p]

c.

Calcula la matriu de transició de la base $V$ a la base $U$ tot justificant els passos fets. [1.25 p]

d.

Determina les coordenades de $\vec{m}$ en la base $V$ aplicant la matriu de canvi trobada a l'apartat anterior. [1.25 p]

e.

Troba directament les coordenades de $\vec{m}$ respecte de $V$ sense fer servir cap matriu de canvi de base. [0.5 p]

Exercici 2 (6 punts). Aplicacions lineals en espais de polinomis

Sigui l'aplicació lineal $f: P_2(x) \to P_2(x)$ definida com:

$$f(a + bx + cx^2) = (a - b) + (a + b)x + (a + c)x^2$$

Es consideren les bases de $P_2(x)$:

$$B = \{1 + x^2, 1 + x, 1\}, \quad D = \{x^2, x, 1\}$$

a)

Troba la matriu associada a l'aplicació $f$ prenent la base $B$ tant a l'espai d'origen com al de destí. [1,5 p]

Fila 1:

Fila 2:

Fila 3:

b)

Estudia si l'aplicació $f$ és injectiva, exhaustiva i bijectiva. [0,5 p]

L'aplicació $f$ és injectiva:

L'aplicació $f$ és exhaustiva:

L'aplicació $f$ és bijectiva:

Es defineix a continuació una segona aplicació lineal $g: P_2(x) \to \mathbb{R}^2$ que té com a matriu associada en bases $D$ (origen) i $E$ (destí):

$$G_{DE} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

on $D$ és la base especificada abans i $E = \{(0,2), (1,0)\}$.

c)

Calcula la imatge mitjançant $g$ del polinomi $\vec{p} = 4 + x + x^2$. Expressa el resultat com a vector de $\mathbb{R}^2$, no en coordenades respecte a cap base. [1,25 p]

(

,

)

d)

Definim l'aplicació composició $h(x) = (g \circ f)(x)$. Troba la matriu associada a $h$ considerant la base $B$ a l'origen i la base $E$ al destí ($H_{BE}$). [1,5 p]

Fila 1:

Fila 2:

e)

Determina una base i la dimensió del nucli de l'aplicació $g$ ($\ker(g)$). No deixis el resultat en components respecte a cap base. [1,25 p]