Problema 1 · Álgebra UB 2017

Problema 1 [2 punts]

Responeu als següents apartats:

a.

Considereu la matriu real següent:

$$A = \begin{pmatrix} k & k & 4 \\ 0 & k & 5 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$$

Determineu per a quins valors del paràmetre real $k$ la matriu $A$ és invertible. [0,5 punts]

b.

Es considera una matriu $B \in M_{4\times 4}(\mathbb{R})$ a la qual s'aplica de forma successiva la seqüència d'operacions elementals per files següent:

$$f_2 \leftarrow f_2 - 3f_3,\quad f_3 \leftarrow f_3 + 4f_1,\quad f_2 \leftrightarrow f_3,\quad f_2 \leftarrow \frac{1}{2}f_2,\quad f_4 \leftarrow f_4 - 2f_2$$

En finalitzar el procés, s'obté la matriu triangular:

$$B' = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculeu el determinant de la matriu de partida $B$. [1,5 punts]