Examen de Matemáticas I UB 2018 · 2a Prova Matemàtiques I - Curs 2018-2019

Pregunta 1 (1 punt). Qüestionari cert/fals de conceptes de vàries variables

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és certa o falsa (resposta encertada: +0,1; en blanc: 0; fallada: -0,1):

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és certa o falsa (resposta encertada: +0,1; en blanc: 0; fallada: -0,1):

Pregunta 1 (1 punt). Qüestionari cert/fals de conceptes de vàries variables

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és certa o falsa (resposta encertada: +0,1; en blanc: 0; fallada: -0,1):

Indiqueu si l'afirmació següent és certa o falsa (resposta encertada: +0,1; en blanc: 0; fallada: -0,1):

g. La derivada parcial respecte a la variable $y$ d'una funció de tres variables, $f(x, y, z)$, coincideix amb la derivada direccional segons el vector $(0, 1, 0)$.

Pregunta 1 (1 punt). Qüestionari cert/fals de conceptes de vàries variables

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és certa o falsa (resposta encertada: +0,1; en blanc: 0; fallada: -0,1):

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és certa o falsa (resposta encertada: +0,1; en blanc: 0; fallada: -0,1):

Pregunta 1 (1 punt). Qüestionari cert/fals de conceptes de vàries variables

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és certa o falsa (resposta encertada: +0,1; en blanc: 0; fallada: -0,1):

Indiqueu si l'afirmació següent és certa o falsa (resposta encertada: +0,1; en blanc: 0; fallada: -0,1):

j. Si una funció $f$ compleix les hipòtesis del teorema de Schwarz, aleshores la seva matriu hessiana en un punt d'estudi $\vec{x}_0$ NO és simètrica.

Pregunta 2 (1 punt). Domini i propietats topològiques

Considereu la funció: $$f(x, y) = \frac{\sqrt{x}}{x + y}$$

Indiqueu i representeu gràficament el seu domini. Determineu justificadament si el domini és tancat o no, obert o no, acotat o no, compacte o no, i convex o no.

Seleccioneu les propietats del domini:

Obert:

Sí

No

Tancat:

Sí

No

Acotat:

Sí

No

Compacte:

Sí

No

Convex:

Sí

No

Pregunta 3 (1 punt). Dibuix de corbes de nivell

Dibuixeu i identifiqueu les corbes de nivell corresponents als valors $k = -4$, $k = -2$ i $k = -1$ per a la funció: $$f(x, y) = x^2 + y - 4$$

a)

b)

c)

Pregunta 4 (1 punt). Derivada direccional

Calculeu el valor de la derivada en la direcció del vector $\vec{v} = (1, 1)$ de la funció $$f(x, y) = \frac{x^3 y}{x + y}$$ en el punt $(1, 1)$.

Pregunta 5 (1 punt). Pla tangent i aproximació lineal

Donada la funció diferenciable $f(x, y) = y e^{x^2 - y}$:

a.

Determineu l'equació del pla tangent a la superfície en el punt $(1, 1)$ [0,75 punts]:

b.

Utilitzeu aquest pla tangent per aproximar el valor de la funció en el punt $(1, 1'1)$ [0,25 punts]:

Pregunta 6 (1 punt). Elasticitat parcial

Considereu la funció $f(x, y) = \ln(3x + y)$.

a.

Calculeu l'elasticitat parcial respecte de la variable $x$ en el punt $\left(\frac{e}{3}, 0\right)$ [0,75 punts]:

b.

Classifiqueu el tipus d'elasticitat obtinguda [0,25 punts]:

Pregunta 7 (1 punt). Funció implícita i recta tangent

L'equació $x^2 y^2 - \ln(y) - 1 = 0$ defineix implícitament $y$ com a funció d'$x$ ($y = y(x)$) en un entorn del punt $(x, y) = (1, 1)$.

a.

Calculeu el valor de la derivada ordinària $\frac{dy}{dx}(1, 1)$ [0,75 punts]:

b.

Determineu l'equació de la recta tangent a la funció $y(x)$ en el punt $x = 1$ [0,25 punts]:

Pregunta 8 (1 punt). Homogeneïtat d'una funció

Determineu si la següent funció és homogènia:

$$f(x, y, z) = \frac{e^{\frac{x+y}{z}}}{x^2 + zy}$$

a.

Indiqueu si és homogènia (SÍ o NO) [0,25 punts]:

SÍ

NO

b.

En cas afirmatiu, especifiqueu el seu grau d'homogeneïtat [0,75 punts]:

Pregunta 9 (2 punts). Gradient i matriu hessiana

Calculeu el vector gradient i la matriu hessiana de la funció:

$$f(x, y, z) = y\ln(y) + x^2y + z^2$$

en el punt $(-4, 1, 1)$.

a.

Vector gradient $\nabla f(-4, 1, 1)$ [1 punt]:

$\nabla f(-4, 1, 1) = ($

$,$

$,$

$)$

b.

Matriu hessiana $Hf(-4, 1, 1)$ [1 punt]:

Hf(-4, 1, 1) = \left.(

$\left.)\right.$