Examen de Matemàtiques UB 2023 · Parcial I de (22/11/2023)

Model A - Pregunta 1 (3 punts). Modelització de la càrrega viral i anàlisi qualitativa d'EDO

a.

[2 punts] Un grup d'investigadors modelitza l'evolució de la càrrega viral $y(t)$ en funció del temps $t$ (en setmanes) a partir del moment en què un individu manifesta símptomes (instant en què s'estima una càrrega inicial d'aproximadament 400 unitats). El model proposat és:

$$\frac{dy}{dt} = -(y + 1)(t - 1), \quad y(0) = 400$$

Trobeu la solució analítica d'aquesta equació diferencial i determineu el valor previst de la càrrega viral al cap de 3 setmanes ($t = 3$).

b.

[1 punt] Responeu raonadament a les següents afirmacions (els errors resten):

Afirmació · Resposta

(Sense fer càlculs previs) A $t = 0.5$, la càrrega viral creix o decreix?

A temps $t = 10$, la càrrega viral ja haurà desaparegut completament?

L'equació diferencial anterior és autònoma?

L'equació diferencial $y' = (y - 1)(y - 2)$ té un punt d'equilibri inestable en $y = 2$?

L'equació diferencial $y' = y(4 - y)$ descriu un creixement logístic la funció solució del qual no té cap asímptota horitzontal?

Model A - Pregunta 2 (2 punts). Extrems relatius de funcions de dues variables

Donada la funció de dues variables:$$f(x, y) = x^2 + 3y^2 - 4xy^2 + 5$$Calculeu tots els seus punts crítics i determineu, mitjançant l'anàlisi de la matriu hessiana, si es tracta de màxims relatius, mínims relatius o punts de sella.

Model A - Pregunta 3 (1 punt). Màxim poblacional d'una espècie aquàtica

L'evolució de la biomassa total d'una espècie de peixos en un ecosistema lacustre ve modelitzada per la funció:$$f(t) = 2000 + \frac{t e^{1-\frac{t}{10}}}{9}, \quad (t \ge 0)$$on $t$ representa el temps transcorregut en mesos i $f(t)$ la massa de la població. Determineu en quin mes s'assolirà el valor màxim de biomassa i quin serà el valor d'aquesta massa màxima.

a)

mesos

b)

Model B - Pregunta 4 (1 punt). Qüestions breus: codi R, dosificació i interacció entre espècies

a.

[0,3 punts] Es vol aproximar numèricament la solució de l'EDO $\frac{dy}{dt} = -ty + y^2$ per trobar el valor de $y(10)$ sabent que $y(0) = 3$. Completeu els espais en blanc de l'script d'R:

library(desolve)

n0 = [ 1 ]

g = function(t,y,parms) {

s = [ 2 ]

return(list(s))

}

times = seq( [ 3 ])

yini = n0

sol.out = ode(yini, times, g, parms=NULL)

sol.out

c.

[0,3 punts] S'infon un fàrmac a un pacient a un ritme constant de $5\text{ mg/h}$. Alhora, l'organisme l'elimina de forma proporcional a la quantitat acumulada amb una constant de proporcionalitat de $0{,}6$. Escriviu l'equació diferencial (sense resoldre) que modelitza $y(t)$, la quantitat de fàrmac acumulat al cos en el temps $t$.

d.

[0,2 punts] Considerem el següent sistema epidemiològic per descriure la propagació d'un patogen:

$\begin{aligned}

\frac{dS}{dt} &= -bIS - mS + B \\

\frac{dI}{dt} &= bIS - cI - mI \\

\frac{dR}{dt} &= cI - mR

\end{aligned}$

Classifiqueu cadascuna de les afirmacions com a CERT o FALS (els errors resten):

Model B - Pregunta 4 (1 punt). Qüestions breus: codi R, dosificació i interacció entre espècies

b. (0.2 punts) Indiqueu quina és la finalitat del següent fragment de codi en R:

f1 <- function(x){ -2*x^4 + 5*x^2 + 7*x - 2 }

library(Deriv)

df11 = Deriv(f1)

library(rootSolve)

uniroot.all(df11, lower=-100, upper=100)

Model B - Pregunta 1 (2 punts). Estudi de punts crítics i extrems relatius

Sigui la funció de dues variables reals:

$$f(x, y) = 3x^2 + 2y - 3yx^2 + 2$$

Trobeu tots els seus punts crítics i determineu si la funció presenta màxims o mínims relatius.

a)

Punt 1:

(,)

Punt 2:

(,)

b)

Model B - Pregunta 2 (3 punts). Modelització de càrrega viral i preguntes conceptuals d'EDO

a)

[2 punts] L'evolució de la càrrega viral $y(t)$ en funció del temps $t$ (en setmanes) en pacients amb símptomes es modelitza mitjançant:

$$\frac{dy}{dt} = -(y + 1)(t - 2), \quad y(0) = 200$$

Resoleu analíticament l'equació diferencial i avalueu la càrrega viral resultant a les dues setmanes ($t = 2$).

b)

[1 punt] Responeu a les següents afirmacions (els errors resten):

Afirmació · Resposta

(Sense fer càlculs) A temps $t = 3$, la càrrega viral creix o decreix?

A les 6 setmanes, la càrrega viral encara no haurà desaparegut?

L'equació diferencial anterior és autònoma?

L'equació diferencial $y' = (y - 1)(y - 2)$ té un punt d'equilibri inestable en $y = 1$?

L'equació diferencial $y' = 2y$ reflecteix un creixement lineal i la funció solució és una recta?

Model B - Pregunta 3 (1 punt). Biomassa màxima d'una població de peixos

La massa poblacional d'un peix en un estany segueix la dinàmica temporal donada per:

$$f(t) = 1000 + \frac{t e^{1-\frac{t}{20}}}{10}, \quad (t \ge 0)$$

on $t$ ve mesurat en mesos. Trobeu en quin instant la població ateny la seva massa màxima i determineu el valor d'aquesta massa.

a)

mesos

b)

Model A - Pregunta 4 (1 punt). Qüestions breus: codi R, farmacocinètica i model SIR

a)

[0,3 punts] Donada l'equació diferencial $\frac{dy}{dt} = -2t + y^3$ amb la condició inicial $y(0) = 3$, completeu els paràmetres buits del programa en R per trobar $y(10)$:

library(deSolve)

n0 = [ 1 ]

g = function(t,y,parms) {

s = [ 2 ]

return(list(s))

}

times = seq( [ 3 ])

yini = n0

sol.out = ode(yini, times, g, parms=NULL)

sol.out

c)

[0,3 punts] Un tractament mèdic administra a un pacient un medicament a un ritme constant de $7\text{ mg/h}$. L'eliminació del fàrmac és directament proporcional a la quantitat present a l'organisme amb una constant de $0{,}4$. Plantegeu l'equació diferencial (sense resoldre) per a la quantitat de fàrmac acumulat $y(t)$.

d)

[0,2 punts] Considerem el sistema d'EDO que governa la dinàmica de dues poblacions biològiques:

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = 2x(1-x) - 0{,}3yx \\ \frac{dy}{dt} = 3y - 0{,}05xy \end{cases}$$

Trieu l'opció correcta a cadascun dels quatre apartats següents (els errors resten):

Model B - Pregunta 4 (1 punt). Qüestions breus: codi R, dosificació i interacció entre espècies

b.

[0.2 punts] Considereu l'script d'R següent:

f1 <- function(x){ -2*x^4 + 5*x^2 + 7*(x - 2) }

library(Deriv)

df11 = Deriv(f1)

library(rootSolve)

uniroot.all(df11, lower=-100, upper=100) Trieu l'opció que descriu correctament l'objectiu del codi:

.