Ejercicio Model A - Pregunta 1 · Matemàtiques UB 2023

Model A - Pregunta 1 (3 punts). Modelització de la càrrega viral i anàlisi qualitativa d'EDO

a.

[2 punts] Un grup d'investigadors modelitza l'evolució de la càrrega viral $y(t)$ en funció del temps $t$ (en setmanes) a partir del moment en què un individu manifesta símptomes (instant en què s'estima una càrrega inicial d'aproximadament 400 unitats). El model proposat és:

$$\frac{dy}{dt} = -(y + 1)(t - 1), \quad y(0) = 400$$

Trobeu la solució analítica d'aquesta equació diferencial i determineu el valor previst de la càrrega viral al cap de 3 setmanes ($t = 3$).

b.

[1 punt] Responeu raonadament a les següents afirmacions (els errors resten):

Afirmació · Resposta

(Sense fer càlculs previs) A $t = 0.5$, la càrrega viral creix o decreix?

A temps $t = 10$, la càrrega viral ja haurà desaparegut completament?

L'equació diferencial anterior és autònoma?

L'equació diferencial $y' = (y - 1)(y - 2)$ té un punt d'equilibri inestable en $y = 2$?

L'equació diferencial $y' = y(4 - y)$ descriu un creixement logístic la funció solució del qual no té cap asímptota horitzontal?