Examen de Matemàtiques UB 2023 · síntesi (Part 2) - Curs 2023/2024

Problema 1 (2 punts). Màxim i límit de la densitat d'una alga

En biologia marina, la densitat d'una alga invasora ( Rugulopteryx okamurae) mesurada en un transsecte costaner durant el seu període d'expansió es modelitza mitjançant la funció:$$f(x) = x e^{-2x^2}$$on $x$ representa el temps transcorregut en mesos ($x \ge 0$).

Determineu:

a)

L'instant de temps en el qual s'assoleix la màxima densitat de l'alga, així com el valor d'aquesta densitat màxima.

b)

L'evolució poblacional d'aquesta alga a llarg termini: calculeu el límit quan $x \to +\infty$ i interpreteu biològicament el resultat.

Problema 2 (2 punts). Resolució d'equació diferencial sobre cultiu cel·lular

Un equip de recerca biomèdica avalua l'evolució de cèl·lules després d'una implantació regenerativa de cartílag. Es proposa que la densitat cel·lular $y(t)$ al llarg del temps $t$ (expressat en mesos) es regeix per l'equació diferencial:

$$\frac{dy}{dt} = \frac{2y}{3}$$

Sabent que transcorregut un mes ($t = 1$) la densitat és de 0,2 unitats, calculeu la densitat que s'assolirà als 10 mesos.

Problema 3 (1 punt). Maximització de l'àrea d'un transsecte el·líptic

En un disseny experimental de Zoologia es requereix delimitar un transsecte amb forma el·líptica. L'àrea delimitada per una el·lipse de semieixos $a$ i $b$ ve donada per:

$$\text{Àrea} = \pi a b$$

Si situem el centre de l'el·lipse a l'origen de coordenades, aquesta tallarà els eixos en els punts $(a, 0)$ i $(0, b)$. Suposant que la distància en línia recta entre aquests dos vèrtexs és de 4 unitats, determineu els valors de $a$ i $b$ que fan màxima l'àrea del transsecte, així com el valor d'aquesta àrea.

Considereu una població de peixos estructurada en dues classes d'edat regulada per una matriu de Leslie. Els individus de la primera classe d'edat tenen una fecunditat mitjana de 0,3 cries, mentre que els de la segona en tenen una mitjana de 4 cries. D'altra banda, només el 20% dels individus de la primera classe sobreviuen per passar a la segona. Inicialment hi ha 200 individus a cadascuna de les classes.

A continuació es presenten quatre sortides del programari estadístic R:

Considereu una població de peixos estructurada en dues classes d'edat regulada per una matriu de Leslie. Els individus de la primera classe d'edat tenen una fecunditat mitjana de 0,3 cries, mentre que els de la segona en tenen una mitjana de 4 cries. D'altra banda, només el 20% dels individus de la primera classe sobreviuen per passar a la segona. Inicialment hi ha 200 individus a cadascuna de les classes.

A continuació es presenten quatre sortides del programari estadístic R:

> A<-matrix(c(0.2,0,0.3,0.4),byrow=TRUE,nrow=2)

> A

[,1] [,2]

[1,] 0.2 0.0

[2,] 0.3 0.4

> eigen(A)

$values

[1] 0.4 0.2

$vectors

[,1] [,2]

[1,] 0.0000000 0.5547002

[2,] 1.0000000 -0.8320503

> A<-matrix(c(0.3,4,0.2,0),byrow=TRUE,nrow=2)

> A

[,1] [,2]

[1,] 0.3 4

[2,] 0.2 0

> eigen(A)

$values

[1] 1.0569179 -0.7569179

$vectors

[,1] [,2]

[1,] 0.9825630 -0.9668191

[2,] 0.1859299 0.2554621

> A<-matrix(c(0.3,0.2,4,0),byrow=TRUE,nrow=2)

> A

[,1] [,2]

[1,] 0.3 0.2

[2,] 4.0 0.0

> eigen(A)

$values

[1] 1.0569179 -0.7569179

$vectors

[,1] [,2]

[1,] 0.2554621 -0.1859299

[2,] 0.9668191 0.9825630

> A<-matrix(c(4,0.3,0.2,0),byrow=TRUE,nrow=2)

> A

[,1] [,2]

[1,] 4.0 0.3

[2,] 0.2 0.0

> eigen() decomposition

$values

[1] 4.01494417 -0.01494417

$vectors

[,1] [,2]

[1,] 0.9987616 -0.07451312

[2,] 0.0497522 0.99722003

Trieu el llistat adequat i responeu a les qüestions:

•

a.

A llarg termini, la població:

b.

Calculeu la proporció (% d'individus) de cada grup d'edat a llarg termini (al cap de moltes generacions):

%

%

Considereu una població de peixos estructurada en dues classes d'edat regulada per una matriu de Leslie. Els individus de la primera classe d'edat tenen una fecunditat mitjana de 0,3 cries, mentre que els de la segona en tenen una mitjana de 4 cries. D'altra banda, només el 20% dels individus de la primera classe sobreviuen per passar a la segona. Inicialment hi ha 200 individus a cadascuna de les classes.

A continuació es presenten quatre sortides del programari estadístic R:

S'ha definit una funció indicador $f(x, y)$ per determinar la qualitat de l'aigua d'un riu a partir de dues concentracions $x$ i $y$:$$f(x, y) = -x^3 + 4xy - 2y^2 + 1$$Fent els càlculs necessaris, determineu quina de les següents opcions és la correcta:

Considereu una població de peixos estructurada en dues classes d'edat regulada per una matriu de Leslie. Els individus de la primera classe d'edat tenen una fecunditat mitjana de 0,3 cries, mentre que els de la segona en tenen una mitjana de 4 cries. D'altra banda, només el 20% dels individus de la primera classe sobreviuen per passar a la segona. Inicialment hi ha 200 individus a cadascuna de les classes.

A continuació es presenten quatre sortides del programari estadístic R:

Les aigües d'un pou de regants estan contaminades per plaguicides. El pou conté un volum constant de $3000\text{ m}^3$ d'aigua amb una concentració inicial de $2\text{ g/m}^3$ de DDT. Per tal de purificar el pou, s'injecta aigua completament neta a raó de $42\text{ m}^3\text{/h}$. Al mateix temps, la mescla (que se suposa perfectament homogènia de forma instantània) s'extreu per bombament al mateix ritme ($42\text{ m}^3\text{/h}$).

Escriviu ( sense resoldre) l'equació diferencial amb la seva condició inicial que modelitza la dinàmica de $y(t)$, on $y(t)$ representa la quantitat total de DDT present al pou en el temps $t$.

Considereu una població de peixos estructurada en dues classes d'edat regulada per una matriu de Leslie. Els individus de la primera classe d'edat tenen una fecunditat mitjana de 0,3 cries, mentre que els de la segona en tenen una mitjana de 4 cries. D'altra banda, només el 20% dels individus de la primera classe sobreviuen per passar a la segona. Inicialment hi ha 200 individus a cadascuna de les classes.

A continuació es presenten quatre sortides del programari estadístic R:

Problema 4. Apartat 4 (0,5 punts). Comprovació de vector propi d'una matriu

Comproveu si el vector $\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$ és vector propi de la matriu:

$$M = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

En cas afirmatiu, indiqueu el valor propi associat.

Sí

No

$\lambda =$