Examen de Matemàtiques I UB 2016 · final. - Gener 2016

Pregunta 1 (3 punts). Combinació lineal a R3

Quins valors ha de prendre el paràmetre $a \in \mathbb{R}$ per tal que qualsevol vector $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ es pugui expressar com a combinació lineal dels vectors $\{(3,1,a), (2,a,2), (1,1,1)\}$?

Pregunta 2 (3 punts). Dependència lineal i generadors a R3

Considerant els vectors $\vec{u}_1 = (-3,2,2)$, $\vec{u}_2 = (0,1,1)$ i $\vec{u}_3 = (-1,0,2)$, assenyaleu l'afirmació correcta:

Pregunta 3 (3 punts). Conjunt de vectors a R3

Respecte del conjunt de vectors $\{(4,-1,-1), (-2,4,0), (5,4,-2)\}$, és cert que:

Pregunta 4 (3 punts). Coordenades d'un vector en una base

Quins són els components del vector $(-12, 4, -5)$ respecte de la base formada pels vectors ${(4, -1, 1), (-4, 2, 0), (0, 1, 2)}$?

Pregunta 5 (3 punts). Condició de subespai vectorial

Donat el conjunt $S = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 2x + \frac{y}{a} = -b\right\}$, amb $a, b \in \mathbb{R}$, quins valors han de tenir $a$ i $b$ perquè $S$ sigui un subespai vectorial de $\mathbb{R}^3$?

Pregunta 6 (3 punts). Propietats de vectors a R4

Donats cinc vectors $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3, \vec{v}_4, \vec{v}_5 \in \mathbb{R}^4$, quina de les següents afirmacions és correcta?

Pregunta 7 (3 punts). Distància euclidiana entre dos vectors

Donats els vectors $\vec{u} = (0, 1, -2)$ i $\vec{v} = (-1, k, 0)$, per a quins valors de $k \in \mathbb{R}$ la distància entre ells és igual a 3?

Pregunta 8 (3 punts). Topologia d'un conjunt a R2

Sigui el conjunt $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \ge 2,\, y \ge 3\}$. Aleshores $A$ és:

Pregunta 9 (3 punts). Classificació d'una forma quadràtica

Donada la forma quadràtica $Q(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + 2z^2 + 2xy + 2xz$, quina de les asseveracions següents sobre els valors que pren és vertadera?

Pregunta 10 (3 punts). Corba de nivell d'una funció

Donada la funció $f(x, y) = \frac{ax^3 - x^2}{y}$ amb $a \in \mathbb{R}$, el punt $(-2, 3)$ pertany a la corba de nivell -4 quan:

Pregunta 11 (3 punts). Derivada direccional

El valor de la derivada direccional de la funció $f(x, y) = \ln(x^2 - xe^y)$ en el punt $a = (2, 0)$ segons la direcció del vector $\vec{v} = (3, 4)$ és:

Pregunta 12 (3 punts). Derivada parcial

La derivada parcial de la funció $f(x, y) = \frac{4x + y}{y^2}$ respecte a la variable $y$ en el punt $(1, 2)$ és:

Pregunta 13 (3 punts). Matriu hessiana

La matriu hessiana de la funció $f(x, y) = \cos(y - x)$ en el punt $(0,0)$ és igual a:

Pregunta 14 (3 punts). Hiperplà tangent

L'equació de l'hiperplà tangent a la funció $f(x, y, z) = \frac{x}{z} + 2xy^2$ en el punt $(3, -1, 1)$ és:

Pregunta 15 (3 punts). Elasticitat parcial

L'elasticitat parcial respecte a la variable $z$ de la funció $f(x, y, z) = xye^{xyz}$ en el punt $(2, 1, 2)$ és:

Pregunta 16 (3 punts). Derivació implícita

La relació $-y^3 + xyz + \ln(yz) = 1$ defineix implícitament $z$ com a funció de $x$ i $y$ en un entorn del punt $(2, 1, 1)$. El valor de $\frac{\partial z}{\partial y}$ en aquest punt és:

Pregunta 17 (3 punts). Homogeneïtat d'una funció

La funció $f(x, y) = \sqrt{\frac{x}{y}} + 5$:

Pregunta 18 (3 punts). Aplicació del Teorema de Weierstrass

Sigui $f(x, y) = \frac{6y^2}{x^2 - 16}$ definida en el conjunt $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \ge 0,\, y \ge 0,\, x + y \le 2\}$. A partir del Teorema de Weierstrass (TW), quina de les afirmacions següents és certa?

Pregunta 19 (3 punts). Punts crítics d'una funció de dues variables

Donada la funció $f(x, y) = x^2y - 2y^3 + 6xy + 2$, podem afirmar que:

Pregunta 20 (3 punts). Optimització del benefici d'una empresa

La funció de benefici setmanal d'una empresa que comercialitza dos models d'impressora, $A$ i $B$, és:

$$B(x, y) = -5x^2 - 6y^2 + 44x + 26y + 2xy - 8$$

on $x$ i $y$ indiquen el nombre d'unitats setmanals produïdes i venudes de cada model, respectivament. El nivell de producció que maximitza el benefici setmanal és: