Examen de Estadística II UB 2023 · final resuelto turno tardes (diciembre 2023)

Pregunta 1. Estimación por método de los momentos

Dada la función de densidad:

$$f(x) = 3k \cdot x^{3k-1}, \quad 0 \le x \le 1, \quad k > 0$$

¿Cuál es la estimación del parámetro $k$ mediante el método de los momentos si una muestra aleatoria de 20 observaciones presenta una media muestral aproximada de 0,87?

Pregunta 2. Análisis de varianza (ANOVA)

A partir de una muestra aleatoria simple de clientes de una compañía de telefonía dividida en tres intervalos de edad (de 30 a 39 años con 25 clientes, de 40 a 49 años con 15 clientes y de 50 a 59 años con 10 clientes), se analizan sus gastos medios mensuales. La tabla ANOVA resultante a un nivel de significación del 5% es la siguiente:

Origen de las variaciones

Suma de cuadrados

Gr. libertad

Promedio cuadrados

F

Probab

Valor crítico F

Entre grupos

23609,85

2

11804,93

3,2

Dentro de los grupos

47

Total

26260,72

Indique la afirmación FALSA:

Pregunta 3. Contraste de hipótesis sobre la media con t de Student

En un estudio sobre los metros cuadrados que tienen los pisos de uso turístico en Barcelona se desea contrastar la hipótesis nula $H_0: \mu = 69\text{ m}^2$ frente a la alternativa $H_1: \mu \neq 69\text{ m}^2$. Se extrajo una muestra aleatoria simple de 61 pisos, reportando la siguiente salida de software estadístico:

Con estos resultados, podemos concluir que:

.

Pregunta 4. Contraste de igualdad de proporciones poblacionales

Para realizar un contraste de igualdad de proporciones poblacionales:

Pregunta 5. Propiedades del estadístico media muestral

Sobre el estadístico de la media muestral, seleccione la respuesta FALSA:

Pregunta 6. Contraste unilateral para la media con muestra grande

Queremos contrastar con un nivel de significación del 10%, si la media de horas diarias que se conecta a las redes sociales una población es de 5, frente a la hipótesis de que el número de horas es inferior. Tomamos una muestra de tamaño 400 y obtenemos una media de 4,8 y una desviación muestral de 4. ¿A qué conclusión llegaremos?

Pregunta 7. Probabilidad de la diferencia entre media muestral y poblacional

En el informe anual de una marca de productos deportivos se analiza el número de pares deportivos que compra una persona en un año. La desviación estándar poblacional es de 2,7 pares. Si se selecciona una muestra de 81 clientes, calcular la probabilidad aproximada de que la diferencia entre la media muestral y la media poblacional no supere, en valor absoluto, los 0,15 pares:

Pregunta 8. Test de normalidad de Shapiro-Wilk

Se analiza para 4 variables diferentes si siguen una distribución Normal. A partir de las muestras aleatorias disponibles, se calcula para cada una de ellas el test de Normalidad de Shapiro-Wilk:

Variable

Valor Estadístico (W)

p-Value

X1

0,81480

0,01387

X2

0,83024

0,01595

X3

0,79864

0,00028

X4

0,82532

0,00062

Si $\alpha = 1\%$, ¿para qué variables se rechazaría que sigan una distribución Normal?

Pregunta 9. Contraste de igualdad de varianzas (Prueba F)

Se desea analizar si dos variables Normales X1, X2, independientes entre sí, tienen igual dispersión poblacional. A partir de una muestra de cada población, se realiza la prueba F para varianzas de dos muestras:

X1

X2

Media

3,9427

4,7313

Varianza

8,5007

7,6558

Observaciones

421

429

Grados de libertad

420

428

F

P(F<=f) una cola

0,1407

El valor del estadístico de prueba toma un valor igual a:

Pregunta 10. Tamaño muestral mínimo para estimar una proporción

Se desea estimar la proporción de hogares españoles a favor de la instalación de paneles solares en sus casas. El tamaño de la muestra mínimo, aproximado, para estimar esa proporción con una confianza del 90% y un error no superior al 5,3% es de:

Pregunta 11. Test de independencia Chi-cuadrado

Para un colectivo de estudiantes queremos saber si su intención de trabajar en la empresa privada depende de su género. A partir de las siguientes tablas de contingencia:

Se calcula el test de independencia arrojando la siguiente salida:

Pearson's Chi-squared test

data:.Table

X-squared = 5.5693, df = 1, p-value = ----- Valores de referencia de la distribución Chi-cuadrado:

$P(\chi_1^2 < 3{,}84) = 0{,}95$; $P(\chi_1^2 < 4{,}605) = 0{,}9$; $P(\chi_1^2 < 2{,}7) = 0{,}9$; $P(\chi_2^2 < 5{,}99) = 0{,}95$.

¿A qué conclusión llegarías con los datos anteriores?

Pregunta 12. Intervalo de confianza para una proporción

En un test a 200 personas, 120 prefirieron Netflix, 60 Amazon Prime y 20 se mostraron indiferentes. A partir de esos datos se infirió, con un nivel de confianza del 90%, que la proporción de indiferentes a nivel poblacional se encontraba, aproximadamente:

Pregunta 13. Intervalo de confianza para la varianza poblacional

Un estudio sobre el consumo medio de gigas al mes para navegar por Internet (que se supone normalmente distribuido) ha implicado extraer una muestra aleatoria de tamaño 21 de la que se obtiene una desviación estándar de 4,2. A partir de esta información, el intervalo de confianza al 95% para la varianza de la población será de aproximadamente:

Valores de referencia: $P(\chi_{20}^2 < 31,41) = 0,95$; $P(\chi_{20}^2 < 34,17) = 0,975$; $P(\chi_{20}^2 < 10,85) = 0,05$; $P(\chi_{20}^2 < 9,59) = 0,025$.

Pregunta 14. Cálculo del error tipo II

Dada la población $X$ que es Normal con desviación estándar poblacional igual a 1, se extrae una muestra aleatoria de 25 observaciones. Se considera el siguiente contraste de hipótesis:

$H_0: \mu = 1$ frente a $H_1: \mu = 2$

Si se establece como criterio rechazar la hipótesis nula si la media muestral es superior a 1,6, calcular la probabilidad de cometer un error tipo II (aproximadamente):

Pregunta 15. Contraste bilateral sobre una proporción poblacional

Un estudio sobre el consumo de refrescos de frutas afirma que el 40% de los consumidores prefieren los de naranja. Para comprobarlo se entrevista a 100 consumidores elegidos al azar, de los cuales 25 prefieren los refrescos de naranja. Se contrasta $H_0: p = 0,40$ y $H_1: p \neq 0,40$:

Pregunta 16. Propiedades teóricas de los estimadores

Elija la afirmación correcta: