Examen de Estadística II UB 2023 · final resuelto. Convocatoria ordinaria (Noviembre 2023)

Pregunta 1. Probabilidad de la media muestral

Una empresa fabricante de patatas fritas declara que el contenido medio por paquete es de $100\text{ g}$, presentando una desviación típica poblacional de $10\text{ g}$ (asumiendo que la variable sigue una distribución normal). Una asociación de consumidores toma una muestra aleatoria de $25$ bolsas. ¿Cuál es aproximadamente la probabilidad de que la media observada en la muestra sea inferior a $98\text{ g}$?

Pregunta 2. Sesgo de un estimador de la media

Para estimar la media $\mu > 0$ de una población, se toma una muestra aleatoria de tamaño $n > 4$ y se formula el siguiente estimador:

$$\hat{\theta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n - 3}$$

Sabiendo que se trata de un estimador sesgado, determine la expresión analítica de dicho sesgo y cuál es su signo:

Pregunta 3. Tabla ANOVA de comparación de medias

Con el fin de comprobar si la tarifa media de alquiler turístico en tres municipios del área metropolitana resulta idéntica, se ha llevado a cabo un análisis de la varianza. Se dispone de la siguiente salida ANOVA:

Origen de las variaciones

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Promedio de los cuadrados

Probabilidad

Entre grupos

946,5445

2

0,0487

Dentro de los grupos

5958,3019

145,3244

Total

6904,8464

43

A la vista de estos resultados, indique la afirmación correcta:

Pregunta 4. Test Chi-cuadrado de independencia

En un estudio de siniestralidad vial se registraron los 288 accidentes ocurridos en un mes, clasificados según su gravedad y el tipo de vía:

Gravedad / Zona

Ciudad

Carretera

Total

Mortal

9

15

24

Grave

46

A

Leve

B

43

189

Total

201

288

Se realizó una prueba de independencia de Pearson arrojando la siguiente salida:

Identifique la afirmación FALSA:

.

Pregunta 5. Propiedades de la distribución t de Student

Indique cuál de las siguientes propiedades no corresponde a una variable con distribución t de Student:

Pregunta 6. Contraste de hipótesis sobre el consumo de agua

Un informe municipal asegura que durante una ducha se gastan de media 20 litros cada cinco minutos (asumiendo distribución normal). Cierta asociación duda de esta cifra y toma una muestra aleatoria de tamaño $n = 80$, en la que se registra una media de $\bar{x} = 22{,}85$ y una desviación típica $s = 15$. A la vista de estos datos, elija la conclusión acertada:

Pregunta 7. Intervalo de confianza de diferencia de medias

En un local de restauración existen dos modalidades de almuerzo: Menú ($X$) y Carta ($Y$). Con objeto de contrastar el gasto medio por comensal (suponiendo normalidad e igualdad de varianzas), se extraen dos muestras independientes: $n_X = 25$ clientes de menú y $n_Y = 20$ clientes de carta. Se registra un consumo medio de $18{,}5$ € en el menú y $24$ € en la carta. La desviación típica conjunta ponderada es $S_p = 15{,}25$ €. Determine los límites del intervalo de confianza al $95\%$ para la diferencia de medias poblacionales ($\mu_X - \mu_Y$):

Información probabilística complementaria:

$P(t_{43} > 2{,}017) = 0{,}025$; $P(t_{43} > 1{,}681) = 0{,}05$; $P(t_{45} > 1{,}679) = 0{,}05$; $P(t_{45} > 2{,}014) = 0{,}025$.

.

Pregunta 8. Interpretación de intervalo de confianza para la media

El gasto diario efectuado por los clientes de una superficie comercial se modeliza mediante una variable Normal. Se desea estimar la media poblacional mediante un intervalo de confianza al 90%. Para ello se dispone del siguiente informe estadístico sobre una muestra de 20 clientes:

Teniendo en cuenta los límites del intervalo generado, señale la afirmación FALSA:

Pregunta 9. Eficiencia y sesgo de estimadores lineales

Con el objetivo de inferir la media $\mu > 0$ de una población normal con varianza $\sigma^2$, se proponen los dos estimadores siguientes a partir de una m.a.s. de cuatro observaciones:

$$\hat{\theta}_1 = \frac{X_1 + X_2}{3} + \frac{4X_3 - X_4}{9} \quad; \quad \hat{\theta}_2 = 0{,}2X_1 + 0{,}3X_2 + 0{,}1X_3 + 0{,}4X_4$$

Indique cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:

Pregunta 10. Test de normalidad de Shapiro-Wilk

A partir de muestras independientes para cuatro variables distintas, se contrasta la hipótesis de normalidad mediante la prueba de Shapiro-Wilk, obteniéndose los siguientes resultados:

Variable · Valor Estadístico (W) · p-Value

X1 · 0,81480 · 0,01387

X2 · 0,83024 · 0,01595

X3 · 0,79864 · 0,00028

X4 · 0,82532 · 0,00062

Fijado un nivel de significación $\alpha = 1\%$, ¿para qué variables no se rechaza la hipótesis de que proceden de una distribución normal?

Pregunta 11. Contraste de proporciones para dos poblaciones

En un muestreo efectuado sobre 100 electores de la ciudad A y 200 de la ciudad B, 56 y 88 personas respectivamente manifiestan su apoyo a cierto candidato. ¿Evidencian estos datos que dicho candidato cuenta con un porcentaje significativamente superior de partidarios en la ciudad A respecto a la B?

Pregunta 12. Comparación de varianzas muestrales con distribución F

Sean $X$ e $Y$ dos poblaciones normales e independientes cuyas desviaciones estándar poblacionales son $\sigma_X = 5$ y $\sigma_Y = 7$, respectivamente. Se extrae una muestra aleatoria de 12 observaciones de la primera población y otra de 17 observaciones de la segunda. Calcule la probabilidad de que la cuasidesviación típica muestral de la primera sea inferior a la de la segunda.

Valores de la distribución $F$ de Snedecor disponibles:

$P(F_{11,16} > 1{,}4) = 0{,}2625$; $P(F_{11,16} > 1{,}96) = 0{,}1073$; $P(F_{11,16} > 0{,}71) = 0{,}7138$; $P(F_{11,16} > 0{,}51) = 0{,}8696$.

Pregunta 13. Región crítica de un contraste unilateral de proporción

Se desea contrastar la hipótesis de que más de la mitad de los conductores rechaza una nueva normativa de tráfico. Se consulta a una muestra de 200 conductores. ¿A partir de qué valor de la proporción muestral se rechazará la hipótesis nula en el test $H_0: p = 0{,}50$ frente a $H_1: p > 0{,}50$ al 5% de nivel de significación?

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14 Pregunta 14. Test t de dos muestras independientes

Se realiza un estudio para comprobar si la remuneración media semanal percibida por los maestros ($X$) es menor que la de las enfermeras ($Y$). Ambas variables siguen distribuciones normales con varianzas homogéneas. Se obtiene la siguiente tabla:

A la vista de estos resultados, elija la conclusión correcta:

Pregunta 15. Tamaño muestral para amplitud prefijada

Un analista financiero pretende estimar el rendimiento medio de inversiones en activos digitales mediante un intervalo de confianza al 90% cuya amplitud total máxima no exceda de 15 unidades. Sabiendo que la variable sigue una ley Normal con desviación estándar poblacional igual a 40, determine el tamaño muestral mínimo necesario:

Pregunta 16. Conceptos fundamentales de contraste de hipótesis

En el marco teórico del contraste de hipótesis estadísticas, seleccione la afirmación correcta: