Examen de Análisis Matemático I URV 2025 · final (Variant B) - Gener 2025

Pregunta 1 [2 punts]

Determineu quins són els nombres complexos de mòdul mínim que pertanyen a la corba del pla complex definida per la condició següent:

$$\Re(z)\,\Im(z) = 1$$

Pregunta 2 (2 punts). Taylor, càlcul integral i aproximació d'e

a. Trobeu el valor de l'àrea compresa entre les rectes $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$ i la corba $y = (x - 1)e^{(x-1)^2}$.

Pregunta 2 (2 punts). Taylor, càlcul integral i aproximació d'e

b.

Calculeu el polinomi de Taylor d'ordre 3, $P_3(x)$, per a la funció $f(x) = (x - 1)e^{(x-1)^2}$ centrat en el punt $x = 1$.

c.

Avalueu la integral definida següent:$$\int_1^3 P_3(x)\,dx$$

d.

A partir dels resultats obtinguts en els apartats precedents, deduiu una aproximació numèrica per a la constant $e$.

Pregunta 3 (2 punts). Càlcul d'àrees entre corbes

Trobeu l'àrea de la regió plana compresa entre les corbes:$$y = \sqrt{x}, \quad y = -\frac{x}{2} + 4, \quad y = 1$$

Pregunta 4 (2 punts). Volum d'un cos de revolució

Calculeu el volum del sòlid de revolució $\mathcal{C}$ obtingut en fer girar al voltant de l'eix $x$ la corba definida per:

$$f(x) = \sqrt{\frac{-2x}{(x^2 + 1)(x + 1)^2}}$$

en l'interval $x \in \left[-\frac{\sqrt{3}}{3}, 0\right]$.

Pregunta 5 (2 punts). Resolució de límits

Avalueu els límits següents:

a.

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2\sin(x)} - e^{2x}}{2\sin(x) - 2x}$$

Pregunta 5 (2 punts). Resolució de límits

Avalueu els límits següents:

b.

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \sin(x^2) - 1 - \frac{x^4}{2}}{x^6}$$