Examen de Análisis Matemático I URV 2025 · 2a convocatòria (Variant A) - Gener 2025

Pregunta 1 (2 punts). Potència d'un nombre complex

Demostreu la següent igualtat:$$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right)^{2024} = 1$$

Escriu detalladament la demostració o justificació pas a pas (podeu utilitzar la forma polar/trigonomètrica o el càlcul algebraic per potències menors).

Pregunta 2 (2 punts). Paràmetres de continuïtat i derivabilitat

Trobeu els valors que han de prendre les constants reals $a$ i $b$ per tal que la funció definida a continuació resulti contínua i derivable a tot $\mathbb{R}$:$$f(x) = \begin{cases} ae^x + b & \text{si } x \ge 0 \\ \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

a)

b)

Pregunta 3 (2 punts). Optimització d'un rectangle inscrit

Es vol dissenyar un rectangle d'àrea màxima que estigui inscrit entre l'eix d'abscisses i la corba donada per la funció $f(x) = \mathrm{e}^{-3x^2}$, tal com s'il·lustra a la figura següent:

Quines han de ser les dimensions (base i altura) del rectangle òptim?

Pregunta 4 (2 punts). Càlcul de límits mitjançant Taylor i L'Hôpital

Calculeu els límits següents:

a.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x^2) - e^{-\frac{x^4}{3}} + \frac{x^4}{6}}{x^8}$$ (1,5 punts)

Pregunta 4 (2 punts). Càlcul de límits mitjançant Taylor i L'Hôpital

Calculeu els límits següents:

b.

$$\lim_{x \to 0} \frac{2x + 4\ln(1+x)}{6\tan(x)}$$ (0,5 punts)

Pregunta 5 (2 punts). Volum de revolució al voltant de l'eix y

Calculeu el volum del sòlid que s'obté en fer girar al voltant de l'eix $y$ la regió plana delimitada per les corbes d'equacions $y = 3\sqrt{x}$ i $y = 3x^2$.