Exercici 2 · Matemáticas UAB 2018

Exercici 2. Dinàmica matricial de poblacions estructurada

Una població biològica es classifica en dos estadis de desenvolupament: individus joves i adults. Si denotem respectivament per $j_n$ i $a_n$ el nombre de joves i adults a l'any $n$, la dinàmica es regeix pel sistema:$$\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}, \quad \text{amb } A = \begin{pmatrix} 0 & 15/2 \\ 1/5 & 1/2 \end{pmatrix}$$

a)

Trobeu els valors propis de la matriu $A$ així com una base formada per vectors propis associats.

b)

Si les poblacions inicials són $j_0 = 500$ i $a_0 = 100$, calculeu els efectius $j_{10}$ i $a_{10}$ transcorreguts 10 anys.

c)

Determineu la relació o proporció existent entre les quantitats $j_n$ i $a_n$ per a qualsevol valor d'$n$.