Exercici 3 · Matemáticas UAB 2018

Tema: Equacions diferencials, sistemes i models de creixement · Del examen Examen segon parcial de Matemàtiques (Gener 2018) (2018)

Enunciado

Exercici 3. Model de creixement logístic poblacional

Una població N(t)N(t) (on el temps tt es mesura en hores) evoluciona d'acord amb el model logístic:

N′=rN(1−NK)N' = rN \left(1 - \frac{N}{K}\right)

La capacitat de càrrega és K=1000K = 1000 i la taxa intrínseca de creixement és rr. En l'instant inicial (t=0t = 0), la població compta amb N0=40N_0 = 40 individus, i se sap que el nombre d'individus es duplica al cap de dues hores.

a.

Trobeu el valor de la taxa de creixement inicial rr.

b.

Calculeu la mida de la població al cap de quatre hores.

c.

Mitjançant la derivació de l'equació diferencial logística, demostreu que en el punt d'inflexió la població pren el valor N=K/2N = K/2.

d.

Determineu de forma exacta les coordenades (t,N)(t, N) del punt d'inflexió.

e.

Dibuixeu un esbós raonat de la corba N(t)N(t) tot indicant els punts calculats i les asímptotes.

Enunciado: Exercici 3 · Matemáticas UAB 2018

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Trobeu el valor de la taxa de creixement inicial r.

Solución: r=12ln⁡(4823)≈0,3678 h−1r = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{48}{23}\right) \approx 0{,}3678\text{ h}^{-1}

b. Calculeu la mida de la població al cap de quatre hores.

Solución: N(4)=10001+24(2348)2≈153,6 individusN(4) = \frac{1000}{1 + 24\left(\frac{23}{48}\right)^2} \approx 153{,}6\text{ individus}

c. Mitjançant la derivació de l'equació diferencial logística, demostreu que en el punt d'inflexió la població pren el valor N = K/2.

Solución: N′′(t)=rN′(1−2NK)=0  ⟹  1−2NK=0  ⟹  N=K2N''(t) = rN'\left(1 - \frac{2N}{K}\right) = 0 \implies 1 - \frac{2N}{K} = 0 \implies N = \frac{K}{2}

d. Determineu de forma exacta les coordenades (t, N) del punt d'inflexió (coordenada t).

Solución: t=2ln⁡(24)ln⁡(48/23)≈8,64 ht = \frac{2\ln(24)}{\ln(48/23)} \approx 8{,}64\text{ h}

d. Determineu de forma exacta les coordenades (t, N) del punt d'inflexió (coordenada N).

Solución: N=500 individusN = 500\text{ individus}

e. Dibuixeu un esbós raonat de la corba N(t) tot indicant els punts calculats i les asímptotes.

Solución: La corba té forma sigmoide (en forma d'«S»), partint de (0,40)(0, 40), passant per (2,80)(2, 80), (4,153,6)(4, 153{,}6), canviant de concavitat (de convexa a còncava) exactament en el punt d'inflexió (8,64,500)(8{,}64, 500), i aproximant-se asimptòticament a la capacitat límit K=1000K = 1000 quan t→∞t \to \infty.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Ejercicio Qüestió 4 - Equacions diferencials · 2019 · Exercici 4.d · 2018 ›

Más ejercicios de Equacions diferencials, sistemes i models de creixement