Exercices de Suites : récurrence, convergence et limites · Bac Nouvelle-Calédonie

6 exercices de Suites : récurrence, convergence et limites tombés au Bac de Mathématiques (Nouvelle-Calédonie) (2022-2025). Avec corrigé détaillé.

Exercice 4 - Affirmation 3 · Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 1)

On considère g(x) = ln(3x + 1) + 8 et la suite (u_n) définie par u_0 = 25 et u_(n+1) = g(u_n), strictement positive. Déterminer si l'affirmation 'La suite (u_n) est décroissante' est vraie ou fausse et justifier.

Exercice 3 · Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 2)

Étude d'une suite récurrente u_{n+1} = f(u_n) avec f(x) = ln(e^{x/2} + 2) et u_0 = ln(9). Variations de f, point fixe 2ln(2), calcul de u_1, récurrence 2ln(2) <= u_{n+1} <= u_n, convergence, résolution de X^2 - X - 2 = 0 puis de e^x - e^{x/2} - 2 = 0, équation f(x) = x et détermination de la limite de (u_n).

Exercice 2 · Nouvelle-Calédonie 2023 (jour 1)

Étude d'une suite récurrente : calculs des premiers termes, récurrence, limite, suite auxiliaire géométrique et algorithme Python de seuil.

Exercice 3 · Nouvelle-Calédonie 2023 (jour 2)

Étude d'une suite récurrente définie par u_{n+1} = (-u_n - 4)/(u_n + 3) : calculs de u_1 et u_2, écriture d'une fonction Python, croissance de la fonction associée, démonstration par récurrence, convergence de la suite, et calcul de sa limite à l'aide d'une suite auxiliaire arithmétique v_n = 1/(u_n + 2).

Exercice 2 · Nouvelle-Calédonie 2022 (jour 1)

Étude d'une suite récurrente u_{n+1} = f(u_n) avec f(x) = x^3 e^x : calcul des premiers termes u_1 et u_2 (valeurs exactes et approchées), valeur renvoyée par un algorithme Python, calcul de la dérivée f'(x), justification du tableau de variations de f, démonstration par récurrence que -1 <= u_n <= u_{n+1} <= 0,…

Exercice 4 - Suites · Nouvelle-Calédonie 2022 (jour 2)

Questions 1 à 5 du QCM de l'Exercice 4 portant sur les suites numériques : convergence de u_n = (-1)^n / (n+1), calcul de terme w_0 avec v_0 = ln(a), sens de variation et bornes de w_n, terme général de la suite arithmético-géométrique a_n, et sens de variation de la suite b_n.

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