Exercice 4 - Affirmation 3 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 1)

Thème : Suites : récurrence, convergence et limites · Tiré du sujet Jour 1 (2025)

Énoncé

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

3. On considère la fonction gg, définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par:

g(x)=ln⁡(3x+1)+8.g(x) = \ln(3x + 1) + 8.

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=25u_0 = 25 et, pour tout entier naturel nn,

un+1=g(un).u_{n+1} = g(u_n).

On admet que la suite (un)(u_n) est strictement positive.

Affirmation 3: La suite (un)(u_n) est décroissante.

Vraie

Fausse

Énoncé: Exercice 4 - Affirmation 3 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Justification de l'affirmation 3

Réponse : Démonstration par récurrence : pour n=0n=0, u1=ln⁡(76)+8≈12,33<u0=25u_1 = \ln(76) + 8 \approx 12{,}33 < u_0 = 25. Si un+1<unu_{n+1} < u_n, comme la fonction x↦ln⁡(3x+1)+8x \mapsto \ln(3x+1)+8 est strictement croissante sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[, on en déduit que g(un+1)<g(un)g(u_{n+1}) < g(u_n), soit un+2<un+1u_{n+2} < u_{n+1}. Par récurrence, pour tout nn, un+1<unu_{n+1} < u_n.

3. Affirmation 3 : La suite (un)(u_n) est décroissante.

Réponse : Vraie

L’explication pas à pas, faite avec l’IA, est réservée aux membres Premium. Premium

Résous-le ici : correction automatique, indices et corrigé détaillé.

Exercice 3 · Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 2) ›

Plus d’exercices de Suites : récurrence, convergence et limites