Exercice 3 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 2)

Énoncé

Exercice 3 [5 points]

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par: $f(x) = \ln\left(e^{\frac{x}{2}} + 2\right).$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \ln(9)$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = f(u_n).$

Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Montrer que $f(2\ln(2)) = 2\ln(2)$ .

Montrer que $u_1 = \ln(5)$ .

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , on a: $2\ln(2) \le u_{n+1} \le u_n.$

En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

6. a.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $X^2 - X - 2 = 0$ .

6. b.

En déduire l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation: $e^x - e^{\frac{x}{2}} - 2 = 0.$

6. c.

En déduire l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $f(x) = x$ .

6. d.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

Énoncé: Exercice 3 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 2)

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur R.

Réponse : Pour tout réel $x$ , $f'(x) = \frac{\frac{1}{2}e^{x/2}}{e^{x/2} + 2} > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

2. Montrer que f(2ln(2)) = 2ln(2).

Réponse : $f(2\ln(2)) = 2\ln(2)$

3. Montrer que u_1 = ln(5).

Réponse : $u_1 = \ln(5)$

4. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : 2ln(2) <= u_{n+1} <= u_n.

Réponse : La propriété est vraie pour $n=0$ car $2\ln(2) = \ln(4) \le \ln(5) \le \ln(9)$ , et elle est héréditaire car $f$ est croissante.

5. En déduire que la suite (u_n) converge.

Réponse : La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $2\ln(2)$ , donc elle converge.

6. a. Résoudre dans R l'équation X^2 - X - 2 = 0.

Réponse : -1 et 2

6. b. En déduire l'ensemble des solutions sur R de l'équation : e^x - e^{x/2} - 2 = 0.

Réponse : 2ln(2)

6. c. En déduire l'ensemble des solutions sur R de l'équation f(x) = x.

Réponse : 2ln(2)

6. d. Déterminer la limite de la suite (u_n).

Réponse : 2ln(2)

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