Exercice 2 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2022 (jour 1)

EXERCICE 2 (7 points)

Principaux domaines abordés:

Suites;

Fonctions, Fonction exponentielle.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par $f(x) = x^3 e^x$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbf{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

1. On définit la suite $(u_n)$ par $u_0 = -1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} = f(u_n).$$

a.

Calculer $u_1$ puis $u_2$. On donnera les valeurs exactes puis les valeurs approchées à $10^{-3}$.

b.

On considère la fonction fonc, écrite en langage Python ci-dessous.

def fonc(n):

u = -1

for i in range(n):

u = u**3 * exp(u)

return u

On rappelle qu'en langage Python, « i in range(n) » signifie que $i$ varie de $0$ à $n-1$.

Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par fonc(2) arrondie à $10^{-3}$.

2. a. Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2 e^x (x+3)$.

b. Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\mathbf{R}$ est celui représenté ci-dessous:

c. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a: $$-1 \le u_n \le u_{n+1} \le 0.$$

d. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

e. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.

On rappelle que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$.

Déterminer $\ell$. (Pour cela, on admettra que l'équation $x^2 e^x - 1 = 0$ possède une seule solution dans $\mathbf{R}$ et que celle-ci est strictement supérieure à $\frac{1}{2}$.)