Exercice 3 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2023 (jour 2)

EXERCICE 3 (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ telle que $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$:

$$u_{n+1} = \frac{-u_n - 4}{u_n + 3}.$$

On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.

1.

Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.

2.

On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python:

def terme(n):

u =...

for i in range(n):

u =...

return(u)

On rappelle qu'en langage Python, « i in range(n) » signifie que $i$ varie de $0$ à $n-1$.

Compléter le corps de la fonction ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l'instruction terme(n) renvoie la valeur de $u_n$:

3.

Soit la fonction $f$ définie sur $]-3; +\infty[$ par:

$$f(x) = \frac{-x - 4}{x + 3}.$$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f(u_n)$.

Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3; +\infty[$.

4.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$: $$-2 < u_{n+1} \le u_n.$$

5.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

6.

Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

$$v_n = \frac{1}{u_n + 2}.$$

a.

Donner $v_0$.

b.

Démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $1$.

c.

En déduire que pour tout entier naturel $n$: $$u_n = \frac{1}{n + 0{,}5} - 2.$$

d.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.