Exercice 2 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2023 (jour 1)

1. a. Démontrer que $u_1 = 12$.

Réponse : $u_1 = 5u_0 - 4 \times 0 - 3 = 5 \times 3 - 3 = 12$

1. b. Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.

Réponse : 53

1. c. Sens de variation conjecturé de la suite $(u_n)$ :

Réponse : strictement croissante / croissante

1. c. Limite conjecturée de la suite $(u_n)$ :

Réponse : +infini / +inf / +\infty / +oo

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \ge n + 1$.

Réponse : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, soit $P(n) : u_n \ge n + 1$. - Initialisation : pour $n = 0$, $u_0 = 3$ et $0 + 1 = 1$. Comme $3 \ge 1$, $P(0)$ est vraie. - Hérédité : supposons que pour un entier $n \ge 0$, $u_n \ge n + 1$. Montrons que $u_{n+1} \ge n + 2$. On a $u_{n+1} = 5u_n - 4n - 3$. Par hypothèse de récurrence, $u_n \ge n + 1$, donc : $$5u_n \ge 5(n + 1) = 5n + 5$$ $$u_{n+1} = 5u_n - 4n - 3 \ge (5n + 5) - 4n - 3 = n + 2$$ L'inégalité est donc vérifiée au rang $n + 1$. - Conclusion : par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge n + 1$.

2. b. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Réponse : +infini / +inf / +\infty / +oo

3. a. Raison de la suite géométrique $(v_n)$ :

Réponse : 5