Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2025

Die Abbildung zeigt die Pyramide $ABCDS$. Ihre Grundfläche $ABCD$ ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(2|2|0)$, $C(0|6|0)$ und $D(-2|2|0)$. Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $S(0|0|6)$.

a)

Berechnen Sie die Länge der kürzesten der acht Kanten sowie das Volumen der Pyramide ABCDS.

c)

Die Ebene $E$ hat die Gleichung $2x + y + z = 6$. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $E$ mit der xy-Ebene einschließt.

°

e)

Gegeben ist die Schar der Ebenen $F_k: k\cdot y + (k - 2)\cdot z = 2k$ mit $k \in ]0; 3[$. Jede Ebene $F_k$ der Schar schneidet die Pyramide ABCDS in einem Dreieck $BDQ_k$, wobei der Punkt $Q_k$ auf der Strecke $\overline{SC}$ liegt. Es gibt einen Wert von $k$, für den der Flächeninhalt des Dreiecks $BDQ_k$ minimal ist. Ermitteln Sie diesen Wert.