Abitur Hessen Physik 2021 · LK

Elektrische und magnetische Felder in Mikrofonen

Aufgaben

Mikrofone wandeln Schallwellen in elektrische Signale um. Zwei verbreitete Bauformen sind das Kondensatormikrofon, das in Aufgabe 1 betrachtet wird, und das Tauchspulenmikrofon, das in Aufgabe 2 betrachtet wird.

1

Ein Kondensatormikrofon besteht aus einer Membran, die durch Schallwellen ausgelenkt wird, und einer Gegenelektrode. Diese Bauteile bilden zusammen einen luftgefüllten Plattenkondensator (Dielektrizitätszahl $\varepsilon_{\text{r,Luft}} = 1$) mit kreisförmigen Platten (Radius $r = 1{,}50\text{ cm}$), dessen elektrisches Feld als homogen angenommen werden soll (Material 1). Der Plattenabstand beträgt in der Ruhelage (ohne auftreffende Schallwellen) $d_0 = 40{,}0\,\mu\text{m}$. Treffen Schallwellen auf die Membran, so ändert sich die am Kondensator anliegende Spannung $U_\text{C}$. Daraus erzeugt eine elektrische Schaltung ein Signal, das weiterverarbeitet werden kann.

1.1

Der Kondensator wird in der Ruhelage aufgeladen, sodass die Spannung $U_0 = 48{,}0\text{ V}$ anliegt.

Berechnen Sie die Kapazität $C_0$ und die Ladung $Q_0$ des Kondensators sowie die in seinem Feld gespeicherte Energie $E_{\text{el},0}$.

[zur Kontrolle: $C_0 = 156{,}5\text{ pF}$; $Q_0 = 7{,}51\text{ nC}$]

(6 BE)

1.2

Für eine verzerrungsfreie Umwandlung von Schallwellen in elektrische Signale muss die Spannung $U_C$ am Kondensator unter der Annahme konstanter Kondensatorladung proportional zum Plattenabstand $d$ sein.

Zeigen Sie allgemein, dass dieser Zusammenhang für Plattenkondensatoren gilt.

Erläutern Sie mithilfe von Material 1 eine Ursache, die bei einem Kondensatormikrofon zu einer Verzerrung des Signals führen kann.

(5 BE)

1.3

Ausgehend von der Ruhelage wird die Spannung $U_C$ am Kondensator nacheinander bei vier verschiedenen Plattenabständen $d$ gemessen. Die Ergebnisse finden Sie in Material 2.

Untersuchen Sie, ob der Kondensator die Ladung von der Ruhelage bis zur ersten Messung und dann während der Messungen verlustfrei speichert. Die berechneten Werte für die Ladungen können in die letzte Tabellenzeile eingetragen werden.

(5 BE)

Messung Nr.

Ruhelage

1

2

3

4

$d$ in $\mu\text{m}$

40,0

40,6

41,2

41,8

42,4

$U_C$ in $\text{V}$

48,00

48,68

49,41

50,05

50,95

$Q$ in $\text{nC}$

7,51

1.4

Tatsächlich kann vom Kondensator auch über die elektrische Schaltung Ladung abfließen. Dies soll anhand der Entladung eines Kondensators über einen Widerstand modelliert werden (Material 3). Zum Zeitpunkt $t = 0\text{ s}$ wird der vollständig aufgeladene Kondensator von der Spannung $U_0 = 48\text{ V}$ getrennt.

1.4.1

Leiten Sie die Differenzialgleichung $\frac{1}{R \cdot C} \cdot Q(t) + \dot{Q}(t) = 0$ her, die die zeitliche Änderung der Ladung $Q(t)$ im Kondensator beschreibt. Erläutern Sie die Herleitungsschritte.

Zeigen Sie, dass der Ansatz $Q(t) = C \cdot U_0 \cdot e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t}$ die Differenzialgleichung löst und bestimmen Sie dabei einen Ausdruck für die Zeitkonstante $\tau$.

(8 BE)

1.4.2

Untersuchen Sie, wie groß der Widerstand $R$ bei einer Kapazität von $C_0 = 156{,}5\text{ pF}$ mindestens sein muss, damit sich eine Ladung $Q_0$ des Kondensators in der Ruhelage in der Zeitspanne einer Periodendauer eines Tones mit der Frequenz $f = 400\text{ Hz}$ durch Entladung um höchstens $3\,\%$ verringert.

(5 BE)

Elektrische und magnetische Felder in Mikrofonen

Aufgaben

Mikrofone wandeln Schallwellen in elektrische Signale um. Zwei verbreitete Bauformen sind das Kondensatormikrofon, das in Aufgabe 1 betrachtet wird, und das Tauchspulenmikrofon, das in Aufgabe 2 betrachtet wird.

1

Ein Kondensatormikrofon besteht aus einer Membran, die durch Schallwellen ausgelenkt wird, und einer Gegenelektrode. Diese Bauteile bilden zusammen einen luftgefüllten Plattenkondensator (Dielektrizitätszahl $\varepsilon_{\text{r,Luft}} = 1$) mit kreisförmigen Platten (Radius $r = 1{,}50\text{ cm}$), dessen elektrisches Feld als homogen angenommen werden soll (Material 1). Der Plattenabstand beträgt in der Ruhelage (ohne auftreffende Schallwellen) $d_0 = 40{,}0\,\mu\text{m}$. Treffen Schallwellen auf die Membran, so ändert sich die am Kondensator anliegende Spannung $U_\text{C}$. Daraus erzeugt eine elektrische Schaltung ein Signal, das weiterverarbeitet werden kann.

2 Auch in Tauchspulenmikrofonen wird eine Membran durch Schallwellen in Bewegung versetzt. An der Membran ist eine Spule befestigt, die in das Feld eines Permanentmagneten eintaucht (Material 4). Der kreisförmige Querschnitt der hier verwendeten Tauchspule hat einen Radius von $r = 1{,}5\text{ cm}$. Die Spule ist $l = 2\text{ cm}$ lang und hat $n = 100$ Windungen.

Material 4: Schematischer Aufbau eines Tauchspulenmikrofons

2.1

Erklären Sie, wie ein Tauchspulenmikrofon Schallwellen in elektrische Signale umwandelt.

[2 BE]

In den folgenden beiden Aufgaben soll angenommen werden, dass die magnetischen Feldlinien senkrecht durch die Querschnittsfläche der Tauchspule treten und dass das magnetische Feld in der Spule homogen ist.

2.2

Berechnen Sie die in der Tauchspule entstehende Spannung, wenn sich die magnetische Flussdichte in der Spule innerhalb von $2\text{ ms}$ gleichmäßig um $500\ \mu\text{T}$ ändert.

[3 BE]

2.3

Die Membran des hier verwendeten Tauchspulenmikrofons wird durch eine Schallwelle so in eine harmonische Schwingung versetzt, dass der zeitliche Verlauf der magnetischen Flussdichte in der Spule durch die Funktion $B(t) = B_0 \cdot \left(1 + 0{,}001 \cdot \sin\left(2765\frac{1}{\text{s}} \cdot t\right)\right)$ gegeben ist.

Leiten Sie aus dem Induktionsgesetz eine Gleichung her, die den zeitlichen Verlauf der Induktionsspannung für den gegebenen Aufbau beschreibt.

[4 BE]

Berechnen Sie die magnetische Flussdichte $B_0$, die notwendig ist, um eine maximale Induktionsspannung von $U_{\text{ind,max}} = 20\text{ mV}$ zu erzeugen.

[4 BE]

2.4

Erläutern Sie, warum man Kondensatormikrofone als Elongationsempfänger, Tauchspulenmikrofone hingegen als Geschwindigkeitsempfänger bezeichnet.

[2 BE]

2.5

Material 5: Eigenschaften von Tauchspulen- und Kondensatormikrofonen in der Praxis

Vor allem aus dem Live Bereich ist das dynamische Mikrofon [Anm.: bei einem dynamischen Mikrofon handelt es sich um ein Tauchspulenmikrofon] als Handmikrofon nicht mehr weg zu denken. [...] Einer der Hauptgründe ist die Robustheit. Ein dynamisches Mikrofon hält einiges aus. Selbst den einen oder anderen Sturz überstehen dynamische Mikrofone ohne großen Schaden. Außerdem sind sie weitaus resistenter gegen schlechtes Wetter als ein Kondensatormikrofon. [...] Ohne zu übersteuern gelingt die Aufnahme von hohem Schalldruck [mit einem dynamischen Mikrofon] problemlos. Manch anderer Mikrofontyp stößt hier an die Grenzen. Während ein Kondensatormikrofon empfindlich auf das Umfeld reagiert und verschiedene Störgeräusche aufschnappt, [...] landen [bei einem dynamischen Mikrofon] weniger Nebengeräusche in der Aufnahmespur [...]. Darüber hinaus ist keine Versorgungsspannung [...] nötig. [...]

Ein Vorteil der Kondensatormikrofone liegt eindeutig in der Klangqualität. Verantwortlich ist die geringe Masse der Membrane. Im Gegensatz zu den robusten dynamischen Mikrofonen, reagiert die federleichte Membran empfindlicher und bildet die Schallwellen präzise ab. [...] Kommen wir zu den Nachteilen. Einerseits leidet aufgrund der Bauart die Robustheit und das Mikrofon ist empfindlich gegenüber hohen Temperaturen oder Luftfeuchtigkeit. [...] Aufgrund der hohen Empfindlichkeit nimmt es mehr Störgeräusche als andere Mikrofonarten auf. [...]

In Material 5 sind die Eigenschaften der beiden Mikrofontypen in der Praxis zusammengestellt. Tauchspulenmikrofone werden z. B. bei Konzerten eingesetzt, während Kondensatormikrofone oft in Tonstudios verwendet werden.

Nennen Sie mithilfe von Material 5 hierfür jeweils zwei Gründe.

[4 BE]

Begründen Sie, warum ein Tauchspulenmikrofon bauartbedingt weniger empfindlich auf Nebengeräusche reagiert als ein Kondensatormikrofon.

[2 BE]

Hall-Effekt und Induktion in Drehzahlsensoren

In modernen Fahrzeugen findet sich eine Vielzahl von Drehzahlsensoren zum Beispiel für die Bestimmung des richtigen Zündzeitpunkts in einem Benzinmotor oder für die Regelung des Antiblockiersystems (ABS). Das Funktionsprinzip vieler dieser Sensoren beruht auf dem Hall-Effekt, sodass man auch von Hall-Sensoren spricht.

1 Zur Untersuchung der physikalischen Grundlagen des Hall-Effekts wird ein rechteckiges Kupferplättchen mit der Länge $l = 8\text{ cm}$, Breite $b = 3{,}5\text{ cm}$ und Dicke $d = 0{,}8\text{ mm}$ verwendet (Material 1). Das Plättchen wird von einem homogenen Magnetfeld durchsetzt, bei dem die Magnetfeldlinien in die Zeichenebene hinein verlaufen.

Die linke Seite des Plättchens ist mit dem Pluspol einer regelbaren Spannungsquelle verbunden, die rechte Seite mit dem Minuspol. Zur Messung der Stromstärke $I$ durch das Plättchen wird ein Amperemeter verwendet. Zwischen den beiden Anschlüssen oben und unten wird die Spannung $U_\mathrm{H}$ gemessen.

Material 1: Kupferplättchen zur Untersuchung des Hall-Effekts

1.1

Zeichnen Sie in Material 1 die fehlenden Leitungen, die Spannungsquelle mit Angabe der Polung, das Amperemeter, das Voltmeter und einige Magnetfeldlinien ein.

[4 BE]

1.2

Zeichnen Sie in Material 1 die Kräfte ein, die auf das in der Mitte dargestellte, bewegte Elektron wirken. Erläutern Sie das Entstehen einer konstanten Hall-Spannung.

[7 BE]

1.3

Dieser Aufbau eignet sich, um die magnetische Flussdichte $B$ des Magnetfelds mit

$$(1)\quad B = \frac{U_\mathrm{H}}{b \cdot v}$$

zu bestimmen. Dabei ist $U_\mathrm{H}$ die Hall-Spannung, $b$ die Breite des Plättchens und $v$ die konstante Driftgeschwindigkeit der Elektronen. Leiten Sie diese Formel her.

[4 BE]

1.4

Mit dem Voltmeter wird eine Hall-Spannung von $U_\mathrm{H} = 2{,}5\ \mu\text{V}$ bestimmt.

Berechnen Sie mit den angegebenen Werten die magnetische Flussdichte $B$ unter der Annahme, dass die Driftgeschwindigkeit der Elektronen $v = 0{,}1\ \frac{\text{mm}}{\text{s}}$ beträgt.

[3 BE]

Hall-Effekt und Induktion in Drehzahlsensoren

In modernen Fahrzeugen findet sich eine Vielzahl von Drehzahlsensoren zum Beispiel für die Bestimmung des richtigen Zündzeitpunkts in einem Benzinmotor oder für die Regelung des Antiblockiersystems (ABS). Das Funktionsprinzip vieler dieser Sensoren beruht auf dem Hall-Effekt, sodass man auch von Hall-Sensoren spricht.

Die Hall-Spannung $U_{\mathrm{H}}$ kann mit der Formel (2) $U_{\mathrm{H}} = R_{\mathrm{H}} \cdot \dfrac{I \cdot B}{d}$ berechnet werden. $R_{\mathrm{H}}$ ist die Hall-Konstante des verwendeten Materials und $d$ seine Dicke. $I$ ist die Stromstärke und $B$ die magnetische Flussdichte.

2.1

Die Gesamtzahl $N$ der freien Elektronen geteilt durch das Volumen $V$ des Plättchens ist die Ladungsträgerdichte $n$ des Materials.

Leiten Sie die Beziehung $R_{\mathrm{H}} = \dfrac{1}{n \cdot e}$ unter Verwendung der Gleichungen (1) und (2) her.

Zeigen Sie mithilfe von Gleichung (2), dass die Hall-Konstante die Einheit $\dfrac{\text{m}^3}{\text{C}}$ hat.

2.2

Die Hall-Spannung wird nun mit einem Plättchen aus einem unbekannten Material erzeugt. Die Dicke des Plättchens beträgt $d = 0{,}5\text{ mm}$ und das Magnetfeld hat eine Flussdichte von $B = 0{,}71\text{ T}$. Die Hall-Spannung wird in Abhängigkeit von der Stromstärke gemessen. Die Ergebnisse sind in Material 2a zu sehen.

Ermitteln Sie unter Verwendung aller Messwerte und Material 2b, aus welchem Material das Plättchen besteht.

Material 2a) Messwerttabelle

Stromstärke $I$ in mA

Hall-Spannung $U_{\mathrm{H}}$ in mV

10 · 112

15 · 170

20 · 229

25 · 281

Material 2b) Hall-Konstanten verschiedener Materialien

Material

Hall-Konstante $R_{\mathrm{H}}$

Kupfer · $5{,}3\cdot 10^{-11}\text{ m}^3/\text{C}$

Silber · $9{,}0\cdot 10^{-11}\text{ m}^3/\text{C}$

Aluminium · $9{,}9\cdot 10^{-11}\text{ m}^3/\text{C}$

Bismut · $5\cdot 10^{-7}\text{ m}^3/\text{C}$

Indiumantimonid · $2{,}4\cdot 10^{-4}\text{ m}^3/\text{C}$

Germanium · $5{,}43\cdot 10^{-3}\text{ m}^3/\text{C}$

Silizium · $7{,}97\cdot 10^{-3}\text{ m}^3/\text{C}$

Hall-Effekt und Induktion in Drehzahlsensoren

In modernen Fahrzeugen findet sich eine Vielzahl von Drehzahlsensoren zum Beispiel für die Bestimmung des richtigen Zündzeitpunkts in einem Benzinmotor oder für die Regelung des Antiblockiersystems (ABS). Das Funktionsprinzip vieler dieser Sensoren beruht auf dem Hall-Effekt, sodass man auch von Hall-Sensoren spricht.

Nun soll ein Hall-Sensor betrachtet werden, mit dem die Drehzahl des Blendenrotors gemessen werden kann (Material 3). Wenn sich der Rotor dreht, so bewegen sich die das Magnetfeld abschirmenden Blenden und die Lücken abwechselnd durch den Spalt zwischen Hall-Sensor und Dauermagnet.

Material 3: Hall-Sensor mit Blendenrotor

a) Schematischer Aufbau

b) Fotografie

Material 4: Verlauf der Hall-Spannung mit Position der Blenden

3.1

Erklären Sie das Zustandekommen des Verlaufs der Hall-Spannung bei konstanter Drehfrequenz (Material 4), insbesondere auch die Form des Anstiegs und Abfalls der Spannung. (4 BE)

3.2

Die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Anstiegen der Hall-Spannung in Material 4 beträgt $t = 8\text{ ms}$. Berechnen Sie mithilfe von Material 3 die Drehzahl des Blendenrotors in Umdrehungen pro Minute. (3 BE)

$\text{U/min}$

Hall-Effekt und Induktion in Drehzahlsensoren

In modernen Fahrzeugen findet sich eine Vielzahl von Drehzahlsensoren zum Beispiel für die Bestimmung des richtigen Zündzeitpunkts in einem Benzinmotor oder für die Regelung des Antiblockiersystems (ABS). Das Funktionsprinzip vieler dieser Sensoren beruht auf dem Hall-Effekt, sodass man auch von Hall-Sensoren spricht.

4 Neben den Hall-Sensoren, die eine Spannungsversorgung benötigen, kommen auch induktive Sensoren zum Einsatz, die keine Spannungsversorgung erfordern.

4.1

Induktion tritt auf, wenn eine Leiterschleife im Magnetfeld rotiert (Material 5).

Erklären Sie die Entstehung der Induktionsspannung zwischen den Enden der Schleife, indem Sie die Kraft auf jeweils ein Elektron in jedem Leiterstück A, B und C betrachten. (4 BE)

Material 5: Rotierende Leiterschleife im Magnetfeld mit Bezeichnung der Schleifenabschnitte A, B und C

4.2

Die Induktionsspannung, die bei Rotation der Leiterschleife in Material 5 entsteht, ist eine Wechselspannung. Berechnen Sie die maximale Induktionsspannung bei einer Drehfrequenz von $f = 6\text{ Hz}$, einer magnetischen Flussdichte von $B = 0{,}71\text{ T}$ und einer quadratischen Leiterschleife mit der Kantenlänge $a = 5\text{ cm}$. (5 BE)

4.3

Bei einem Drehzahlsensor, wie er in Material 6 dargestellt ist, dreht sich ein Zahnrad aus Eisen an einem Eisenkern vorbei, der von einer Induktionsspule umgeben ist. Am anderen Ende des Eisenkerns befindet sich ein Dauermagnet. In der Induktionsspule entsteht eine Wechselspannung, deren Frequenz Rückschlüsse auf die Drehzahl des Zahnrads zulässt.

Erklären Sie die physikalischen Zusammenhänge, die diesem Messprinzip zugrunde liegen, und erklären Sie, dass so die Drehzahl bestimmt werden kann. (4 BE)

Material 6: Induktiver Drehzahlsensor

Massenbestimmung mithilfe mechanischer Schwingungen

1 Astronauten, die sich für längere Zeit in der Erdumlaufbahn in einer Raumstation befinden, verwenden eine spezielle Konstruktion zur Bestimmung ihrer Körpermasse. Material 1 zeigt hierzu die Zeichnung eines sogenannten BMMD (Body Mass Measurement Device): Es handelt sich um einen zweiteiligen Aufbau. In dem einen Teil („Schlitten“) schnallt sich der sitzende Astronaut mit einem Gurt fest, der andere Teil („Schiene“) ist fest mit der gesamten Raumstation verbunden. Der Schlitten ist nahezu reibungsfrei und beweglich auf der Schiene montiert. Durch die angebrachte Schraubenfeder kann der Schlitten zusammen mit dem Astronauten harmonische Schwingungen ausführen. Die Summe der Massen des Schlittens und des Astronauten können im Vergleich zur Gesamtmasse der Station vernachlässigt werden.

Material 1: Zeichnung eines BMMD

1.1

Nennen Sie den Grund dafür, dass ein Astronaut in der Erdumlaufbahn mit einer herkömmlichen Personenwaage nicht seine Masse bestimmen kann.

[2 BE]

1.2

Erläutern Sie ohne Verwendung von Gleichungen das Vorgehen zur Bestimmung der Körpermasse des Astronauten mithilfe des BMMD.

Begründen Sie, weshalb der Astronaut während der Messung angeschnallt sein muss.

[6 BE]

1.3

Im reibungsfreien Fall gilt: Lenkt man die an der Schraubenfeder (Federkonstante $D$) befestigte Masse $m$ um die Strecke $x_{\max}$ aus der Ruhelage aus und lässt sie bei $t = 0\text{ s}$ los, schwingt die Masse harmonisch gemäß $x(t) = x_{\max} \cdot \cos(\omega \cdot t)$ um die Ruhelage. Die Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$ des schwingenden Systems besteht dabei aus Spannenergie $E_{\text{Spann}}$ und kinetischer Energie $E_{\text{kin}}$:

$$E_{\text{ges}}(t) = E_{\text{Spann}}(t) + E_{\text{kin}}(t) = \frac{1}{2} D \cdot [x(t)]^2 + \frac{1}{2} m \cdot [v(t)]^2$$

Geben Sie jeweils den zusammengefassten Term für $E_{\text{ges}}$ zu den Zeitpunkten $t = 0\text{ s}$ und $t = T/4$ mit der Schwingungsdauer $T$ an.

Leiten Sie unter Verwendung dieser beiden Terme die Formel für die Schwingungsdauer $T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$ der Federschwingung her.

[7 BE]

1.4

Der Schlitten des BMMD hat ohne den Astronauten eine Masse von $m_{\text{Sch}} = 35\text{ kg}$, die Schraubenfeder hat eine Federkonstante von $D = 1800\text{ N/m}$.

Berechnen Sie die Masse $m_{\text{A}}$ des Astronauten, wenn er innerhalb einer Minute genau 39 volle Schwingungen im BMMD macht.

[6 BE]

2 Nun soll die Masse $m_{\text{E}}$ der Erde bestimmt werden. Dies ist mithilfe des Ortsfaktors $g$ an einem bestimmten Punkt auf der Erde möglich.

Material 2: Messreihen zum Feder- und Fadenpendel

Messreihe 1: Federpendel (Federkonstante: $D = 15\text{ N/m}$)

Masse $m$ in kg · 0,5 · 1,0 · 1,5 · 2,0

Schwingungsdauer $T$ in s · 1,1 · 1,6 · 2,0 · 2,3

Messreihe 2: Fadenpendel (Pendelmasse: $m = 0,02\text{ kg}$)

Fadenlänge $l$ in m · 0,5 · 1,0 · 1,5 · 2,0

Schwingungsdauer $T$ in s · 1,4 · 2,0 · 2,5 · 2,9

2.1

Zunächst soll der Ortsfaktor $g$ in einem Labor experimentell bestimmt werden. Material 2 enthält dazu je eine Messreihe für ein Federpendel und ein Fadenpendel.

Prüfen Sie, ob eine Bestimmung von $g$ mit einem Feder- bzw. einem Fadenpendel prinzipiell möglich ist. (Herleitungen von Gleichungen für Schwingungsdauern sind nicht erforderlich.)

Berechnen Sie für eine geeignete Messreihe aus Material 2 unter Berücksichtigung aller ihrer Messwerte den Ortsfaktor $g$. Die Feder bzw. der Faden sind dabei masselos, die Massen punktförmig und es tritt keine Reibung auf. Der Auslenkwinkel ist beim Fadenpendel klein.

Berechnen Sie die prozentuale Abweichung von $g$ vom Literaturwert $g_{\text{EU-M}} = 9,81\text{ m/s}^2$ für Mitteleuropa. [7 BE]

%

2.2

Das allgemeine Gesetz für den Betrag der Gravitationskraft $F$ zwischen zwei Massen $m_1$ und $m_2$ lautet: $F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$. Hierbei ist $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3/(\text{kg}\cdot\text{s}^2)$ die Gravitationskonstante und $r$ der Abstand beider Massenschwerpunkte. Für einen Stein mit der Masse $m_{\text{S}}$ auf der Erdoberfläche gilt zudem die bekannte Gleichung $F = m_{\text{S}} \cdot g$. Der Abstand des Steins zum Erdmittelpunkt beträgt $6371\text{ km}$. Bestimmen Sie die Erdmasse $m_{\text{E}}$ unter Verwendung von $g_{\text{EU-M}} = 9,81\text{ m/s}^2$. [4 BE]

3

Der folgende Sachverhalt stellt ein rein theoretisches Gedankenmodell mit einigen zum Teil stark vereinfachenden Annahmen dar:

Es wird angenommen, dass sich in der Erdkugel (Masse $m_\text{E} = 5{,}975\cdot 10^{24}\text{ kg}$, Radius $r_\text{E} = 6371\text{ km}$) vom Nord- zum Südpol ein gerader Tunnel befindet (Material 3).

Man lässt nun am Nordpol einen Stein der Masse $m_\text{S} = 1{,}0\text{ kg}$ in den Tunnel fallen. Störende Einflüsse wie z. B. Luftreibung oder Dichteunterschiede im Erdinneren sollen bei den folgenden Überlegungen nicht beachtet werden.

3.1

Die Rückstellkraft $F$, die auf den Stein stets in Richtung Erdmittelpunkt wirkt, hängt von der Entfernung $y$ des Steins vom Erdmittelpunkt ab. Es gilt: $$F(y) = -\frac{g\cdot m_\text{S}}{r_\text{E}}\cdot y$$

Begründen Sie, dass die Bewegung des Steins in diesem Modell eine harmonische Schwingung um den Erdmittelpunkt darstellt. Geben Sie die zu dieser harmonischen Schwingung gehörende Differenzialgleichung an. Zeigen Sie, dass $y(t) = r_\text{E}\cdot \cos(\omega\cdot t)$ eine mögliche Lösungsfunktion der Differenzialgleichung darstellt, und zeigen Sie mithilfe von Aufgabe 2.2, dass für die Kreisfrequenz der Lösungsfunktion $\omega = \sqrt{\frac{G\cdot m_\text{E}}{r_\text{E}^3}}$ gilt. [8 BE]

3.2

Bestimmen Sie die Zeitdauer einer Schwingung von Nord- zu Nordpol, die Maximalgeschwindigkeit des Steins sowie den Betrag der Beschleunigung auf Höhe des Breitenkreises von Frankfurt am Main (Material 3). [10 BE]

Das Davisson-Germer-Experiment

Clinton Davisson und Lester Germer gelang es 1927 erstmals, den von Louis de Broglie 1923 postulierten Wellencharakter von Teilchen experimentell nachzuweisen. In dem nach ihnen benannten Experiment werden Elektronen senkrecht auf die Oberfläche eines Nickeleinkristalls geschossen und die Intensitäten der reflektierten Elektronen als Funktion des Streuwinkels $\beta$ mit einem beweglichen Detektor gemessen (Material 1). Die Messungen erfolgen mit verschiedenen Beschleunigungsspannungen $U_B$ für den Elektronenstrahl.

1

Nach Louis de Broglie kann jedem Teilchen jeweils eine Frequenz und eine Wellenlänge zugeordnet werden.

Geben Sie die hierfür relevanten Formeln an und nennen Sie die grundsätzliche Überlegung, die zu diesen Formeln führte. (4 BE)

Elektronen mit der Masse $m_e$ und der Ladung $e$, deren Anfangsgeschwindigkeit vernachlässigt werden soll, werden in einem elektrischen Feld mit der Spannung $U_B$ beschleunigt.

2.1

Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Elektronen für $U_B = 54\,\text{V}$. (4 BE)

2.2

Elektronen haben die Spannung $U_B$ durchlaufen.

Leiten Sie die folgende Formel zur Berechnung der theoretischen Wellenlänge $\lambda_{\text{th}}$ her, die diesen Elektronen zugeordnet wird: (4 BE) $$\lambda_{\text{th}} = \sqrt{\frac{h^2}{2 \cdot m_e \cdot e}} \cdot \sqrt{\frac{1}{U_B}} \quad (1)$$

2.3

Berechnen Sie den Wert des obigen Ausdrucks $\sqrt{\frac{h^2}{2 \cdot m_e \cdot e}}$ und zeigen Sie durch eine Einheitenrechnung, dass dieser Ausdruck die Einheit $\text{m} \cdot \sqrt{\text{V}}$ hat.

Berechnen Sie mithilfe von Formel (1) die Wellenlänge $\lambda_{\text{th}}$ für $U_B = 54\,\text{V}$.

[zur Kontrolle: $\lambda_{\text{th}} = 1{,}67 \cdot 10^{-10}\,\text{m}$] (6 BE)

Im Davisson-Germer-Experiment zeigen sich – abhängig vom Streuwinkel $\beta$ und der Beschleunigungsspannung $U_B$ – ausgeprägte Intensitätsmaxima. Diese Maxima sind nur als Interferenzerscheinungen zu erklären, die durch Streuung der Elektronen an der Gitterstruktur des Nickeleinkristalls entstehen. Wegen der geringen Energie der Elektronen kann man annehmen, dass nur die oberste Atomschicht des Kristalls für die Streuung der Elektronen verantwortlich ist. Dabei wirkt die Anordnung der Atome für die Elektronen wie ein Reflexionsgitter mit der Gitterkonstante $d = 2{,}15 \cdot 10^{-10}\text{ m}$ bei der Beugung von Licht. In Material 2 ist diese Streuung schematisch dargestellt.

3.1

Erläutern Sie für Materiewellen den Zusammenhang zwischen konstruktiver Interferenz, Intensitätsmaxima und Aufenthaltswahrscheinlichkeit.

Zeichnen Sie in Material 2 den Gangunterschied $\Delta s$ ein und zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Formel:

$$n \cdot \lambda = d \cdot \sin\beta \quad (2)$$

Hierbei bedeuten $n$ die Ordnung der Maxima und $d$ der Abstand der einzelnen Nickelatome voneinander.

3.2

Die experimentellen Ergebnisse solcher Streuversuche mit unterschiedlichen Spannungen sind in Material 3 dargestellt. Bestimmen Sie für $U_B = 54\text{ V}$ mithilfe der Formel (2) jeweils einen experimentellen Wert $\lambda_{\text{exp}}$ der Wellenlänge unter Verwendung von $n = 1, 2$ und $3$.

Bestätigen Sie anhand Ihrer Ergebnisse die Plausibilität der Annahme, dass es sich bei dem gemessenen Maximum um eines der 1. Ordnung handelt (Vergleich mit $\lambda_{\text{th}} = 1{,}67 \cdot 10^{-10}\text{ m}$ aus Aufgabe 2.3):

3.3

Ermitteln Sie mithilfe von Material 3 für die restlichen Werte von $U_B$ und $n = 1$ die zugehörigen Werte von $\lambda_{\text{exp}}$.

$U_B$

$\beta$

$\lambda_{\text{exp}}$ ($n=1$)

$44\text{ V}$

°

$48\text{ V}$

°

$64\text{ V}$

°

$68\text{ V}$

°

4 Nach der Formel (1) ist die Wellenlänge $\lambda_{\text{th}}$ für $U_B > 0$ proportional zu $\frac{1}{\sqrt{U_B}}$.

4.1

Bestätigen Sie rechnerisch diese Proportionalität für die Messergebnisse der Aufgaben 3.2 und 3.3. Berechnen Sie die Proportionalitätskonstante unter Einbeziehung aller Messwerte und vergleichen Sie diese quantitativ mit dem Ergebnis aus Aufgabe 2.3. [8 BE]

$\text{m}\cdot\sqrt{\text{V}}$

4.2

1959 wurde von Claus Jönsson die Interferenz von Elektronen am Doppelspalt nachgewiesen. Hier soll das Experiment vereinfacht ohne elektronenoptische Elemente zur Vergrößerung des Interferenzmusters betrachtet werden.

Mit der Spannung $U_B = 50\text{ kV}$ beschleunigte Elektronen durchlaufen senkrecht einen Doppelspalt mit einem Spaltabstand $d = 2\,\mu\text{m}$. Im Abstand von $e = 45\text{ cm}$ vom Doppelspalt wird ein Interferenzmuster registriert, bei dem der Abstand der beiden Maxima erster Ordnung $a = 2{,}47\,\mu\text{m}$ beträgt.

Berechnen Sie die Wellenlänge der Elektronen zum einen mithilfe der Ergebnisse des Doppelspaltversuchs und zum anderen mit Formel (1) und vergleichen Sie diese quantitativ. [7 BE]

4.3

Erklären Sie, warum das Experiment von Jönsson erst mehr als 30 Jahre nach dem Experiment von Davisson und Germer durchgeführt werden konnte. [3 BE]

Stehende Wellen und Doppler-Effekt

Bei Blasinstrumenten werden Luftsäulen im Innern des Instruments zu Schwingungen angeregt. Beispielsweise bringt der Luftstrom, der von einem Musiker in eine Klarinette geblasen wird, das am Mundstück befestigte Blatt zum Schwingen (Material 1). Dies regt die Luftsäule im zylindrischen Klarinettenrohr zu einer stehenden Welle an. Die Klarinette verhält sich dabei vereinfacht wie ein einseitig geschlossenes Rohr, an dessen geschlossenem Ende die Luftsäule zu Schwingungen angeregt wird. Die Schallgeschwindigkeit beträgt $c = 340\text{ m/s}$.

Material 1: Klarinette

1.1

Beschreiben Sie allgemein, wodurch eine stehende Welle entsteht. [2 BE]

1.2

In einem einseitig geschlossenen Rohr der Länge $L = 65{,}0\text{ cm}$ wird die Luftsäule durch einen Tongenerator mit regelbarer Frequenz zu Schwingungen angeregt.

Material 2: Schematische Darstellung der ersten Oberschwingung

Erklären Sie mithilfe von Material 2 (ohne auf eventuelle Phasensprünge einzugehen), dass nur bei bestimmten Frequenzen stehende Schallwellen entstehen und dass für die Frequenz der ersten Oberschwingung die Formel $f_1 = \frac{3c}{4L}$ gilt.

Berechnen Sie die Frequenzen der Grundschwingung und der ersten beiden Oberschwingungen. [7 BE]

Zwei Rohre mit jeweils einem offenen und einem geschlossenen Ende haben die Längen $L_1 = 65{,}0\,\text{cm}$ und $L_2 = 64{,}0\,\text{cm}$. In ihnen wird jeweils die erste Oberschwingung durch Schallwellen gleicher Amplitude angeregt. Ein Empfänger nimmt in einiger Entfernung von den Rohren die Überlagerung der beiden Töne auf. Es ergibt sich das in Material 3 dargestellte Schwingungsbild. Diesem kann eine relativ kleine Frequenz (Schwebungsfrequenz) und eine relativ große Frequenz (Frequenz des Schwebungstons) entnommen werden. Die Schallgeschwindigkeit beträgt weiterhin $c = 340\,\text{m/s}$.

Material 3

Schwingungsbild der überlagerten Töne (Amplitude in relativen Einheiten)

2.1

Erläutern Sie die Entstehung des Schwingungsbilds und bestimmen Sie aus Material 3 die Werte für die Schwebungsfrequenz und die Frequenz des Schwebungstons.

2.2

Berechnen Sie die Schwebungsfrequenz aus den oben gegebenen Daten.

Vergleichen Sie quantitativ dieses Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabe 2.1.

2.3

Ein Mensch kann Schwebungsfrequenzen, die größer als $f_S = 20\,\text{Hz}$ sind, nicht wahrnehmen.

Berechnen Sie für $L_1 = 65\,\text{cm}$ die minimale Länge $L_2$ des zweiten Rohrs, damit die Schwebung gerade noch wahrgenommen werden kann.

3 Ändert sich der Abstand zwischen einem Sender, der einen Ton bestimmter Frequenz $f$ aussendet, und einem Empfänger während der Dauer des Signals, so registriert der Empfänger einen Ton anderer Frequenz $f'$. Bei diesem sogenannten Doppler-Effekt sind zwei Fälle zu unterscheiden. Bewegt sich im ersten Fall ein Empfänger mit einer Geschwindigkeit $v$ von einem ruhenden Sender weg, so empfängt er einen tieferen Ton. Bewegt sich im zweiten Fall ein Sender mit der Geschwindigkeit $v$ von einem ruhenden Empfänger weg, so lässt sich die Empfängerfrequenz mit folgender Gleichung berechnen, wobei $c = 340\,\mathrm{m/s}$ die Schallgeschwindigkeit ist:

$$f' = \frac{f}{1 + \frac{v}{c}}$$

3.1

Erläutern Sie, dass es in beiden Fällen zu einer Änderung der empfangenen Frequenz kommt. [4 BE]

3.2 Ein Leslie-Kabinett besteht neben dem Basslautsprechersystem aus zwei rotierenden Hörnern, welche sich im oberen Teil befinden (Material 4). Dabei enthält nur ein Horn einen Lautsprecher. Das andere Horn enthält keinen Lautsprecher, besitzt aber die gleiche Masse.

Wir betrachten zunächst die Rotation des Lautsprechers unter Vernachlässigung der Schallreflexionen an den Wänden. Material 5 zeigt exemplarisch zwei verschiedene Positionen des Lautsprechers während eines Umlaufs sowie einen Zuhörer (Empfänger).

Da der Lautsprecher in ein Horn eingebaut ist, hat er eine bevorzugte Abstrahlrichtung. Abhängig von der Position des Lautsprechers variiert deshalb die Lautstärke, die der Empfänger wahrnimmt. Dieser Effekt wird Tremolo genannt. Außerdem variiert die wahrgenommene Tonhöhe. Dieser Effekt wird Vibrato genannt und durch den Doppler-Effekt hervorgerufen.

Im Folgenden ist die Rotationsfrequenz der Hörner auf $f_{\text{rot}} = 100\,\text{Umdrehungen pro Minute}$ eingestellt. Der Lautsprecher befindet sich $0{,}15\,\mathrm{m}$ von der Rotationsachse entfernt und sendet eine Tonfrequenz von $f = 880\,\mathrm{Hz}$ aus. Die Schallgeschwindigkeit beträgt $c = 340\,\mathrm{m/s}$.

Material 4: Leslie-Kabinett

3.2.1

Zeichnen Sie bei beiden Positionen des Lautsprechers in Material 5 die Richtung der Geschwindigkeit als Pfeil ein. Begründen Sie, dass die effektive Geschwindigkeitskomponente, die zum Dopplereffekt beiträgt, durch die Formel $v_{\text{eff}}(t) = v \cdot \cos(2\pi \cdot f_{\text{rot}} \cdot t)$ beschrieben werden kann, und deuten Sie das wechselnde Vorzeichen von $v_{\text{eff}}(t)$. [8 BE]

Material 5: Rotierender Lautsprecher (gegen den Uhrzeigersinn)

3.2.2

Geben Sie einen Term an, der die vom Zuhörer empfangene Frequenz in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, und berechnen Sie die maximale und minimale empfangene Frequenz.

Zeichnen Sie für zwei volle Lautsprecherumdrehungen ein $t$-$f$-Diagramm in Material 6. [8 BE]

Material 6: Koordinatensystem

3.2.3

Nehmen Sie zu der folgenden Aussage Stellung: „Das Tremolo ist gegenüber dem Vibrato um $90^\circ$ phasenverschoben.“ [4 BE]

3.2.4

Zusätzlich wird der Ton des Lautsprechers an den Gehäusewänden oder an Zimmerwänden reflektiert. Untersuchen Sie, welche weiteren Effekte dadurch auftreten können. [2 BE]