Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 3 · Abitur Hessen Physik LK 2021

3

Der folgende Sachverhalt stellt ein rein theoretisches Gedankenmodell mit einigen zum Teil stark vereinfachenden Annahmen dar:

Es wird angenommen, dass sich in der Erdkugel (Masse $m_\text{E} = 5{,}975\cdot 10^{24}\text{ kg}$, Radius $r_\text{E} = 6371\text{ km}$) vom Nord- zum Südpol ein gerader Tunnel befindet (Material 3).

Man lässt nun am Nordpol einen Stein der Masse $m_\text{S} = 1{,}0\text{ kg}$ in den Tunnel fallen. Störende Einflüsse wie z. B. Luftreibung oder Dichteunterschiede im Erdinneren sollen bei den folgenden Überlegungen nicht beachtet werden.

3.1

Die Rückstellkraft $F$, die auf den Stein stets in Richtung Erdmittelpunkt wirkt, hängt von der Entfernung $y$ des Steins vom Erdmittelpunkt ab. Es gilt: $$F(y) = -\frac{g\cdot m_\text{S}}{r_\text{E}}\cdot y$$

Begründen Sie, dass die Bewegung des Steins in diesem Modell eine harmonische Schwingung um den Erdmittelpunkt darstellt. Geben Sie die zu dieser harmonischen Schwingung gehörende Differenzialgleichung an. Zeigen Sie, dass $y(t) = r_\text{E}\cdot \cos(\omega\cdot t)$ eine mögliche Lösungsfunktion der Differenzialgleichung darstellt, und zeigen Sie mithilfe von Aufgabe 2.2, dass für die Kreisfrequenz der Lösungsfunktion $\omega = \sqrt{\frac{G\cdot m_\text{E}}{r_\text{E}^3}}$ gilt. [8 BE]

3.2

Bestimmen Sie die Zeitdauer einer Schwingung von Nord- zu Nordpol, die Maximalgeschwindigkeit des Steins sowie den Betrag der Beschleunigung auf Höhe des Breitenkreises von Frankfurt am Main (Material 3). [10 BE]