Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 1 · Abitur Hessen Physik LK 2021

Massenbestimmung mithilfe mechanischer Schwingungen

1 Astronauten, die sich für längere Zeit in der Erdumlaufbahn in einer Raumstation befinden, verwenden eine spezielle Konstruktion zur Bestimmung ihrer Körpermasse. Material 1 zeigt hierzu die Zeichnung eines sogenannten BMMD (Body Mass Measurement Device): Es handelt sich um einen zweiteiligen Aufbau. In dem einen Teil („Schlitten“) schnallt sich der sitzende Astronaut mit einem Gurt fest, der andere Teil („Schiene“) ist fest mit der gesamten Raumstation verbunden. Der Schlitten ist nahezu reibungsfrei und beweglich auf der Schiene montiert. Durch die angebrachte Schraubenfeder kann der Schlitten zusammen mit dem Astronauten harmonische Schwingungen ausführen. Die Summe der Massen des Schlittens und des Astronauten können im Vergleich zur Gesamtmasse der Station vernachlässigt werden.

Material 1: Zeichnung eines BMMD

1.1

Nennen Sie den Grund dafür, dass ein Astronaut in der Erdumlaufbahn mit einer herkömmlichen Personenwaage nicht seine Masse bestimmen kann.

[2 BE]

1.2

Erläutern Sie ohne Verwendung von Gleichungen das Vorgehen zur Bestimmung der Körpermasse des Astronauten mithilfe des BMMD.

Begründen Sie, weshalb der Astronaut während der Messung angeschnallt sein muss.

[6 BE]

1.3

Im reibungsfreien Fall gilt: Lenkt man die an der Schraubenfeder (Federkonstante $D$) befestigte Masse $m$ um die Strecke $x_{\max}$ aus der Ruhelage aus und lässt sie bei $t = 0\text{ s}$ los, schwingt die Masse harmonisch gemäß $x(t) = x_{\max} \cdot \cos(\omega \cdot t)$ um die Ruhelage. Die Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$ des schwingenden Systems besteht dabei aus Spannenergie $E_{\text{Spann}}$ und kinetischer Energie $E_{\text{kin}}$:

$$E_{\text{ges}}(t) = E_{\text{Spann}}(t) + E_{\text{kin}}(t) = \frac{1}{2} D \cdot [x(t)]^2 + \frac{1}{2} m \cdot [v(t)]^2$$

Geben Sie jeweils den zusammengefassten Term für $E_{\text{ges}}$ zu den Zeitpunkten $t = 0\text{ s}$ und $t = T/4$ mit der Schwingungsdauer $T$ an.

Leiten Sie unter Verwendung dieser beiden Terme die Formel für die Schwingungsdauer $T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$ der Federschwingung her.

[7 BE]

1.4

Der Schlitten des BMMD hat ohne den Astronauten eine Masse von $m_{\text{Sch}} = 35\text{ kg}$, die Schraubenfeder hat eine Federkonstante von $D = 1800\text{ N/m}$.

Berechnen Sie die Masse $m_{\text{A}}$ des Astronauten, wenn er innerhalb einer Minute genau 39 volle Schwingungen im BMMD macht.

[6 BE]