Aufgabe Vorschlag A1 - Aufgabe 1 · Abitur Hessen Physik LK 2021

Elektrische und magnetische Felder in Mikrofonen

Aufgaben

Mikrofone wandeln Schallwellen in elektrische Signale um. Zwei verbreitete Bauformen sind das Kondensatormikrofon, das in Aufgabe 1 betrachtet wird, und das Tauchspulenmikrofon, das in Aufgabe 2 betrachtet wird.

1

Ein Kondensatormikrofon besteht aus einer Membran, die durch Schallwellen ausgelenkt wird, und einer Gegenelektrode. Diese Bauteile bilden zusammen einen luftgefüllten Plattenkondensator (Dielektrizitätszahl $\varepsilon_{\text{r,Luft}} = 1$) mit kreisförmigen Platten (Radius $r = 1{,}50\text{ cm}$), dessen elektrisches Feld als homogen angenommen werden soll (Material 1). Der Plattenabstand beträgt in der Ruhelage (ohne auftreffende Schallwellen) $d_0 = 40{,}0\,\mu\text{m}$. Treffen Schallwellen auf die Membran, so ändert sich die am Kondensator anliegende Spannung $U_\text{C}$. Daraus erzeugt eine elektrische Schaltung ein Signal, das weiterverarbeitet werden kann.

1.1

Der Kondensator wird in der Ruhelage aufgeladen, sodass die Spannung $U_0 = 48{,}0\text{ V}$ anliegt.

Berechnen Sie die Kapazität $C_0$ und die Ladung $Q_0$ des Kondensators sowie die in seinem Feld gespeicherte Energie $E_{\text{el},0}$.

[zur Kontrolle: $C_0 = 156{,}5\text{ pF}$; $Q_0 = 7{,}51\text{ nC}$]

(6 BE)

1.2

Für eine verzerrungsfreie Umwandlung von Schallwellen in elektrische Signale muss die Spannung $U_C$ am Kondensator unter der Annahme konstanter Kondensatorladung proportional zum Plattenabstand $d$ sein.

Zeigen Sie allgemein, dass dieser Zusammenhang für Plattenkondensatoren gilt.

Erläutern Sie mithilfe von Material 1 eine Ursache, die bei einem Kondensatormikrofon zu einer Verzerrung des Signals führen kann.

(5 BE)

1.3

Ausgehend von der Ruhelage wird die Spannung $U_C$ am Kondensator nacheinander bei vier verschiedenen Plattenabständen $d$ gemessen. Die Ergebnisse finden Sie in Material 2.

Untersuchen Sie, ob der Kondensator die Ladung von der Ruhelage bis zur ersten Messung und dann während der Messungen verlustfrei speichert. Die berechneten Werte für die Ladungen können in die letzte Tabellenzeile eingetragen werden.

(5 BE)

Messung Nr.

Ruhelage

1

2

3

4

$d$ in $\mu\text{m}$

40,0

40,6

41,2

41,8

42,4

$U_C$ in $\text{V}$

48,00

48,68

49,41

50,05

50,95

$Q$ in $\text{nC}$

7,51

1.4

Tatsächlich kann vom Kondensator auch über die elektrische Schaltung Ladung abfließen. Dies soll anhand der Entladung eines Kondensators über einen Widerstand modelliert werden (Material 3). Zum Zeitpunkt $t = 0\text{ s}$ wird der vollständig aufgeladene Kondensator von der Spannung $U_0 = 48\text{ V}$ getrennt.

1.4.1

Leiten Sie die Differenzialgleichung $\frac{1}{R \cdot C} \cdot Q(t) + \dot{Q}(t) = 0$ her, die die zeitliche Änderung der Ladung $Q(t)$ im Kondensator beschreibt. Erläutern Sie die Herleitungsschritte.

Zeigen Sie, dass der Ansatz $Q(t) = C \cdot U_0 \cdot e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t}$ die Differenzialgleichung löst und bestimmen Sie dabei einen Ausdruck für die Zeitkonstante $\tau$.

(8 BE)

1.4.2

Untersuchen Sie, wie groß der Widerstand $R$ bei einer Kapazität von $C_0 = 156{,}5\text{ pF}$ mindestens sein muss, damit sich eine Ladung $Q_0$ des Kondensators in der Ruhelage in der Zeitspanne einer Periodendauer eines Tones mit der Frequenz $f = 400\text{ Hz}$ durch Entladung um höchstens $3\,\%$ verringert.

(5 BE)