Abitur Hessen Physik 2021 · GK

Schmetterlingsfarben

Die Farben mancher Schmetterlingsflügel lassen sich wellenoptisch durch Interferenz des Sonnenlichts an den Strukturen auf den Flügeloberflächen erklären. Um zu dieser Erklärung zu führen, beschäftigen sich die folgenden Aufgaben thematisch mit der Ausbreitung und Interferenz von Wellen.

In Material 1 ist eine Momentaufnahme von zwei Schwingungserregern Q1 und Q2 dargestellt, die mit gleicher Frequenz und Phase in einer Wellenwanne Wasserwellen in Form von konzentrischen Kreisen erzeugen.

Material 1: Momentaufnahme von zwei Schwingungserregern mit Wasserwellen

1.1 Bei den Wasserwellen handelt es sich in guter Näherung um Transversalwellen.

Erläutern Sie die Begriffe Transversalwelle und Longitudinalwelle.

Geben Sie ein Beispiel für eine Longitudinalwelle an. (4 BE)

a)

b)

Schmetterlingsfarben

Die Farben mancher Schmetterlingsflügel lassen sich wellenoptisch durch Interferenz des Sonnenlichts an den Strukturen auf den Flügeloberflächen erklären. Um zu dieser Erklärung zu führen, beschäftigen sich die folgenden Aufgaben thematisch mit der Ausbreitung und Interferenz von Wellen.

In Material 1 ist eine Momentaufnahme von zwei Schwingungserregern Q1 und Q2 dargestellt, die mit gleicher Frequenz und Phase in einer Wellenwanne Wasserwellen in Form von konzentrischen Kreisen erzeugen.

Material 1: Momentaufnahme von zwei Schwingungserregern mit Wasserwellen

1.2

Zeichnen Sie in Material 1 beispielhaft eine Wellenlänge ein.

Zeichnen Sie alle Punkte in Material 1 ein, an denen konstruktive Interferenz vorliegt.

Geben Sie jeweils die entsprechende Ordnung $n$ des Maximums ($n = 0, 1, 2$) an.

Schmetterlingsfarben

Die Farben mancher Schmetterlingsflügel lassen sich wellenoptisch durch Interferenz des Sonnenlichts an den Strukturen auf den Flügeloberflächen erklären. Um zu dieser Erklärung zu führen, beschäftigen sich die folgenden Aufgaben thematisch mit der Ausbreitung und Interferenz von Wellen.

In Material 1 ist eine Momentaufnahme von zwei Schwingungserregern Q1 und Q2 dargestellt, die mit gleicher Frequenz und Phase in einer Wellenwanne Wasserwellen in Form von konzentrischen Kreisen erzeugen.

Material 1: Momentaufnahme von zwei Schwingungserregern mit Wasserwellen

2. Doppelspalt und optisches Gitter

Ein Laser erzeugt monochromatisches Licht, das so gebündelt ist, dass es einen Punkt in der Mitte eines Schirms erzeugt. Die Wellenlänge $\lambda$ des Lichts soll mithilfe eines Doppelspalts bestimmt werden, der in den Strahlengang gebracht wird (Material 2).

Der Spaltabstand $d$ des Doppelspalts beträgt $d = 1{,}2\text{ mm}$ und der Abstand $e$ des Schirms vom Doppelspalt beträgt $e = 5{,}5\text{ m}$.

Material 2: Versuchsaufbau zur Bestimmung der Wellenlänge $\lambda$

2.1

Zeichnen Sie die Größen $d$ und $e$ in Material 2 ein. Beschreiben Sie qualitativ das Interferenzmuster auf dem Schirm. Erläutern Sie die Entstehung des Interferenzmusters mithilfe des Huygens’schen Prinzips. [7 BE]

2.2

Die Messung des Abstands der Maxima zweiter Ordnung voneinander ergibt $2\cdot a_2 = 10\text{ mm}$.

Leiten Sie die Formel $a_n = n\cdot \frac{e\cdot \lambda}{d}$ für den Abstand des Maximums $n$-ter Ordnung von der Schirmmitte (Symmetrieachse) mithilfe geeigneter Skizzen unter Verwendung der Kleinwinkelnäherung her. Berechnen Sie die Wellenlänge $\lambda$ des Lichts in der Einheit Nanometer. Geben Sie mithilfe von Material 3 die Farbe des Laserlichts an. [9 BE]

2.3

Statt des Doppelspalts mit dem Spaltabstand $d$ wird nun ein optisches Gitter mit einer sehr viel kleineren Gitterkonstanten $g$ verwendet ($g \ll d$).

Beschreiben Sie, wie sich das Schirmbild bei Verwendung des optischen Gitters von dem Schirmbild mit Doppelspalt qualitativ unterscheidet. Erläutern Sie einen messtechnischen Vorteil, den das optische Gitter gegenüber dem Doppelspalt bei der Bestimmung der Wellenlänge hat. [4 BE]

3. Spektren des Lichts einer Glühlampe am optischen Gitter

Jetzt wird das Licht einer Glühlampe untersucht, das unter anderem alle sichtbaren Wellenlängen von $390\text{ nm}$ bis $770\text{ nm}$ enthält. Der Versuchsaufbau unterscheidet sich vom Aufbau in Aufgabe 2 dadurch, dass jetzt das Licht mit einem geeigneten optischen Aufbau gebündelt wird und statt des Doppelspalts ein optisches Gitter mit der Gitterkonstanten $g = 10\cdot 10^{-6}\text{ m}$ verwendet wird. Der Abstand zwischen Gitter und Schirm beträgt jetzt $e = 0{,}9\text{ m}$.

3.1

Berechnen Sie unter Verwendung der Näherungsformel $a_n = n\cdot \frac{e\cdot \lambda}{g}$ ($n = 0, 1, 2, \dots$) die Breite eines sichtbaren (kontinuierlichen) Spektrums 2. Ordnung.

Geben Sie die Reihenfolge der Farben in diesem Spektrum an, beginnend mit der Farbe, die der Schirmmitte am nächsten liegt. [5 BE]

3.2

Prüfen Sie unter Verwendung der Näherungsformel, ob sich die Spektren 2. und 3. Ordnung überlappen. Untersuchen Sie die Abhängigkeit des Ergebnisses von der Gitterkonstanten $g$. [6 BE]

3.3

Die Verwendung der Näherungsformel soll als zulässig gelten, solange die Ergebnisse nicht mehr als $2\,\%$ von den Ergebnissen der genauen Rechnung abweichen. Beurteilen Sie, ob zur Berechnung der Lösungen der Aufgabe 3.1 die Näherungsformel zulässig ist. [4 BE]

4. Schmetterlingsfarben durch Interferenz

Bei manchen Schmetterlingsarten wird die Farbe der Flügel durch Interferenzeffekte erzeugt. Wird die Oberfläche eines Flügels mit einem Lichtmikroskop vergrößert, so zeigt sich eine Rillenstruktur (Material 4a). Untersucht man mit stärkerer Vergrößerung eine einzelne dieser Rillen unter dem Raster-Elektronenmikroskop, so wird eine Struktur sichtbar, die Tannenbaumstruktur genannt wird. Lichtstrahlen, die senkrecht auf die Stufen dieser Tannenbaumstruktur treffen, werden reflektiert und interferieren mit den reflektierten Lichtstrahlen der jeweils benachbarten Stufen. Der Gangunterschied $\Delta s$ dieser Lichtstrahlen beträgt $\Delta s = 2\cdot h$ (Material 4b). Ein Flügel wird wie in Material 4b abgebildet von Sonnenlicht beschienen. Die Stufenhöhe $h$ beträgt $h = 220\text{ nm}$.

Material 4a: Rillen- und Tannenbaumstruktur auf dem Flügel

Material 4b: Einfallendes und reflektiertes Sonnenlicht

Untersuchen Sie, für welche Wellenlängen das reflektierte Licht konstruktiv interferiert und in welcher Farbe dieser Flügel deshalb einem Betrachter erscheint, der den Flügel aus der in Material 4b eingezeichneten Einfalls- bzw. Reflexionsrichtung des Sonnenlichts betrachtet. [5 BE]

Vorschlag A2: Mechanische Schwingungen und Wellen

Ein Trampolin besteht aus einem Rahmen, in den mit Federn ein Sprungtuch eingehängt ist. Vereinfachend wird angenommen, dass die Bewegung des Sprungtuchs als eine harmonische Schwingung einer senkrecht stehenden Feder mit einer Federkonstanten $D = 2900\,\frac{\text{N}}{\text{m}}$ betrachtet werden kann. Eine Person der Masse $m = 50\,\text{kg}$ setzt sich auf das Sprungtuch, sodass es um die Strecke $s_0$ nach unten ausgelenkt wird. Vereinfachend wird die Person als Massepunkt betrachtet. Die Masse des Sprungtuchs soll vernachlässigt werden.

1 Zur Untersuchung von Federschwingungen wird an eine unbelastete, vertikal hängende Schraubenfeder mit der Federkonstanten $D = 200\,\mathrm{\frac{N}{m}}$ eine Gesamtmasse $m = 1{,}60\,\mathrm{kg}$ angehängt. Die Gesamtmasse setzt sich aus zwei Massestücken mit den Massen $400\,\mathrm{g}$ und $1200\,\mathrm{g}$ zusammen. Die Gesamtmasse wird an die entspannte Feder angehängt und zum Zeitpunkt $t = 0\,\mathrm{s}$ losgelassen, sodass sie vom oberen Umkehrpunkt der Schwingung startend nach unten harmonisch schwingt.

1.1

Geben Sie die Größen an, von denen die Rückstellkraft der hier vorliegenden harmonischen Schwingung abhängt, sowie die jeweilige funktionale Form der Abhängigkeit.

Beschreiben Sie, was der Wert der Federkonstanten $D = 200\,\mathrm{\frac{N}{m}}$ konkret bedeutet. [3 BE]

1.2

Bestätigen Sie ausgehend von einem geeigneten Ansatz, dass die Amplitude $s_0 = 7{,}85\,\mathrm{cm}$ beträgt. [4 BE]

1.3

In Material 1 sind drei $t$-$s$-Diagramme einer Schwingung gegeben. Entscheiden Sie begründet, welches der Diagramme (1) – (3) die Bewegung der Masse um die Ruhelage richtig wiedergibt. [4 BE]

Diagramm

1.4

Bei der Federschwingung fällt nach Durchlaufen einer Schwingungsperiode im oberen Umkehrpunkt das $400\,\mathrm{g}$-Massestück ab.

Untersuchen Sie quantitativ, wie sich dies auf die Schwingungsdauer und die Gleichgewichtslage auswirkt. [4 BE]

2 Ein Trampolin besteht aus einem Rahmen, in den mit Federn ein Sprungtuch eingehängt ist. Vereinfachend wird angenommen, dass die Bewegung des Sprungtuchs als eine harmonische Schwingung einer senkrecht stehenden Feder mit einer Federkonstanten $D = 2900\,\mathrm{\frac{N}{m}}$ betrachtet werden kann. Eine Person der Masse $m = 50\,\mathrm{kg}$ setzt sich auf das Sprungtuch, sodass es um die Strecke $s_0$ nach unten ausgelenkt wird. Vereinfachend wird die Person als Massepunkt betrachtet. Die Masse des Sprungtuchs soll vernachlässigt werden.

2.1

Die Person führt auf dem Sprungtuch Schwingungen um die Ruhelage $s_0$ mit einer Amplitude von $10\,\mathrm{cm}$ so aus, dass sie zu jedem Zeitpunkt mit dem Sprungtuch in Kontakt ist. Zum Zeitpunkt $t = 0\,\mathrm{s}$ schwingt sie durch die Ruhelage $s_0$ nach oben.

Berechnen Sie jeweils den nächsten Zeitpunkt, bei dem die Person den maximalen Geschwindigkeitsbetrag $v_{\max}$ bzw. den maximalen Beschleunigungsbetrag $a_{\max}$ erreicht. Berechnen Sie die beiden Beträge $v_{\max}$ und $a_{\max}$. [6 BE]

2.2

Die Amplitude der Schwingung wird erhöht, bis die maximale Beschleunigung größer als der Ortsfaktor $g$ ist und die Person vom Sprungtuch abhebt.

Zeigen Sie, dass dann für die Amplitude $s_{\max}$ gilt: $s_{\max} > \frac{g\cdot T^2}{4\pi^2}$

Berechnen Sie, wie groß $s_{\max}$ mindestens sein muss, damit die Person vom Sprungtuch abhebt. [4 BE]

2.3

Die Person wird aus der Ruhelage $s_0$ um $s_{\max} = 45\,\mathrm{cm}$ nach unten ausgelenkt und losgelassen.

Erklären Sie die Gleichung (1) und die Umformungsschritte zu den Gleichungen (2) und (3) im Sachzusammenhang. Deuten Sie die Größe $x$ und berechnen Sie den Wert von $x$. [8 BE]

(1) $\frac{1}{2}\cdot D\cdot (s_0 + s_{\max})^2 = m\cdot g\cdot h$

(2) $\frac{1}{2}\cdot D\cdot \left(\frac{m\cdot g}{D} + s_{\max}\right)^2 = m\cdot g\cdot h$

(3) $h = \frac{D\cdot \left(\frac{m\cdot g}{D} + s_{\max}\right)^2}{2\cdot m\cdot g}$

(4) $x = h - (s_0 + s_{\max})$

Ein Trampolin besteht aus einem Rahmen, in den mit Federn ein Sprungtuch eingehängt ist. Vereinfachend wird angenommen, dass die Bewegung des Sprungtuchs als eine harmonische Schwingung einer senkrecht stehenden Feder mit einer Federkonstanten $D = 2900\,\frac{\text{N}}{\text{m}}$ betrachtet werden kann. Eine Person der Masse $m = 50\,\text{kg}$ setzt sich auf das Sprungtuch, sodass es um die Strecke $s_0$ nach unten ausgelenkt wird. Vereinfachend wird die Person als Massepunkt betrachtet. Die Masse des Sprungtuchs soll vernachlässigt werden.

3 In einem Schwimmbecken werden ebene harmonische Wellen mit der Frequenz $0{,}50\,\text{Hz}$ erzeugt, die sich mit der Geschwindigkeit von $3{,}30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ über die Länge des Beckens von $25\,\text{m}$ ausbreiten. Zum Zeitpunkt $t = 0\,\text{s}$ beginnt am Ort $x = 0\,\text{m}$ die Erzeugung der Wellen aus der Ruhelage heraus mit einer Bewegung nach unten. Vereinfachend soll angenommen werden, dass es sich um Transversalwellen handelt, deren Amplitude von $20\,\text{cm}$ mit der Entfernung vom Erreger konstant bleibt.

3.1

Berechnen Sie die maximale Anzahl der Wellenberge, die im Schwimmbecken gleichzeitig beobachtbar sind. Von reflektierten Wellen ist abzusehen. [3 BE]

3.2

Material 2 zeigt ein $x$-$y$-Diagramm des Längsschnitts der sich ausbreitenden Welle zu einem Zeitpunkt $t_1$.

Berechnen Sie $t_1$ und die Elongation des Wellenerzeugers zu diesem Zeitpunkt. [4 BE]

3.3

Ein Wasserball befindet sich in $9{,}9\,\text{m}$ direkter Entfernung zum Wellenerzeuger. Berechnen Sie, wann er in Bewegung gerät und zeichnen Sie seine Bewegung in den ersten 7 Sekunden nach Beginn der Bewegung des Wellenerzeugers in ein geeignetes $t$-$y$-Diagramm ein. [6 BE]

3.4

Die Wellen werden am anderen Ende des Beckens mit gleicher Amplitude reflektiert. Beurteilen Sie, ob sich dadurch stehende Wellen ausbilden können. [4 BE]

Die Betrachtung von geladenen Körpern führt zum Begriff des elektrischen Feldes.

An einen luftgefüllten Plattenkondensator aus kreisförmigen Metallplatten, die einen Plattenabstand von $d = 0{,}6\text{ cm}$ und einen Radius von jeweils $r = 5\text{ cm}$ besitzen, wird eine Spannung von $U = 60\text{ V}$ angelegt.

1 Im Physikunterricht gehören zu den ersten Versuchen zur Elektrizitätslehre Experimente mit geladenen Körpern. Im Folgenden werden elektrisch geladene Luftballons betrachtet.

1.1

Ein Luftballon, dessen Oberfläche mit Metall bedampft ist, und ein Luftballon ohne eine solche Bedampfung werden durch Berühren an einer Stelle elektrisch negativ aufgeladen. Erklären Sie den Unterschied, der sich für die Ladungsverteilung aus der Bedampfung der Oberfläche mit Metall ergibt. (3 BE)

1.2

Ein negativ geladener Luftballon, dessen Oberfläche mit Metall bedampft ist, hängt an einem langen Faden von der Decke. An einem Isolierstiel wird eine ungeladene Metallkugel seitlich in die Nähe des Ballons gehalten. Der Ballon kann weder den Isolierstiel noch die Metallkugel berühren.

Skizzieren Sie die sich ergebende Lage von Faden, Ballon und Metallkugel. Skizzieren Sie auch die Ladungsverteilung auf Ballon und Metallkugel. Erläutern Sie Ihre Skizze. (6 BE)

1.3

Zwei gleiche, negativ geladene Luftballons, deren Oberflächen mit Metall bedampft sind, hängen an langen Fäden von der Decke. Die Ballons berühren sich nicht, die Fäden sind aber so lang, dass sich die Ballons grundsätzlich berühren können (Material 1). Der Ballon 1 wird nun vorsichtig mit der Hand berührt und die Hand anschließend wieder weggenommen.

Erklären Sie, welche Folgen dies hat. (5 BE)

Die Betrachtung von geladenen Körpern führt zum Begriff des elektrischen Feldes.

An einen luftgefüllten Plattenkondensator aus kreisförmigen Metallplatten, die einen Plattenabstand von $d = 0{,}6\text{ cm}$ und einen Radius von jeweils $r = 5\text{ cm}$ besitzen, wird eine Spannung von $U = 60\text{ V}$ angelegt.

2.1 Berechnen Sie die Ladung, die im Plattenkondensator gespeichert ist, und die elektrische Feldstärke zwischen den Kondensatorplatten. (5 BE)

Die Betrachtung von geladenen Körpern führt zum Begriff des elektrischen Feldes.

An einen luftgefüllten Plattenkondensator aus kreisförmigen Metallplatten, die einen Plattenabstand von $d = 0{,}6\text{ cm}$ und einen Radius von jeweils $r = 5\text{ cm}$ besitzen, wird eine Spannung von $U = 60\text{ V}$ angelegt.

2.2

Beide Kondensatorplatten haben in der Mitte ein winziges Loch. Durch dieses Loch wird ein Elektron mit der Geschwindigkeit von $v_0 = 4 \cdot 10^6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ geschossen (Material 2).

Begründen Sie, welches der Diagramme in Material 3 die Veränderung der kinetischen Energie des Elektrons im Plattenkondensator in Abhängigkeit von der Flugstrecke $s$ durch den Plattenkondensator beschreibt. (2 BE)

Diagramm

Berechnen Sie die kinetische Energie des Elektrons, nachdem es den Kondensator durchflogen hat. (4 BE)

Die Betrachtung von geladenen Körpern führt zum Begriff des elektrischen Feldes.

An einen luftgefüllten Plattenkondensator aus kreisförmigen Metallplatten, die einen Plattenabstand von $d = 0{,}6\text{ cm}$ und einen Radius von jeweils $r = 5\text{ cm}$ besitzen, wird eine Spannung von $U = 60\text{ V}$ angelegt.

3

Nicht nur in elektrischen Feldern, auch in magnetischen Feldern wirken auf bewegte elektrische Ladungen Kräfte.

Ein Leiterrahmen der Breite $b = 5\text{ cm}$ wird an eine Spannungsquelle angeschlossen, sodass er von einem Strom durchflossen wird. Hält man den Leiterrahmen in ein Magnetfeld (Material 4), spürt man, wie dieser nach unten gezogen wird.

Material 4: Stromdurchflossener Leiterrahmen im homogenen Magnetfeld

3.1

Begründen Sie, welche Richtung die magnetischen Feldlinien in Material 4 besitzen und zeichnen Sie diese Richtung ein.

Erläutern Sie, dass man nur die Kraft auf den unteren horizontalen Teil des Leiterrahmens spürt.

[5 BE]

3.2

Die Kraft auf den Leiterrahmen wird in Abhängigkeit von der Stromstärke bestimmt. Die Messergebnisse sind in Material 5 angegeben.

Werten Sie die Daten zeichnerisch und rechnerisch aus. Zur rechnerischen Auswertung kann die letzte Tabellenzeile genutzt werden.

Bestimmen Sie mithilfe Ihrer Auswertung und der Breite des Leiterrahmens die magnetische Flussdichte $B$ des Magnetfelds.

[7 BE]

Material 5: Kraft auf den Leiterrahmen in Abhängigkeit von der Stromstärke

$I$ in A

3,0

5,0

8,0

10,0

$F$ in mN

64

107

166

209

$\frac{F}{I}$ in $\frac{\text{mN}}{\text{A}}$

4

Eine Leiterschleife wird gleichförmig mit der Geschwindigkeit $v = 10\frac{\text{cm}}{\text{s}}$ nach unten in ein homogenes Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte $B = 0,4\text{ T}$ abgesenkt (Material 6). Die Leiterschleife besitzt die Länge $l = 8\text{ cm}$, die Breite $b = 5\text{ cm}$ und den elektrischen Widerstand $R = 0,1\,\Omega$.

Material 6: Leiterschleife wird in das Magnetfeld bewegt

4.1

Erklären Sie die physikalischen Vorgänge in der Leiterschleife während des Eintritts in das Magnetfeld und geben Sie die Richtung der entstehenden Elektronenbewegung an.

[4 BE]

4.2

Zum Zeitpunkt $t = 0\text{ s}$ beginnt die gleichförmige Bewegung der Leiterschleife in das Magnetfeld hinein. Zum Zeitpunkt $t_1$ befindet sich die Leiterschleife vollständig im Magnetfeld.

Berechnen Sie den Zeitpunkt $t_1$.

Berechnen Sie die elektrische Stromstärke in der Leiterschleife bis zu diesem Zeitpunkt $t_1$.

Erläutern Sie die Auswirkungen auf den Stromfluss in der Leiterschleife, sobald diese vollständig in das magnetische Feld eingetaucht ist.

[6 BE]

4.3

Die Leiterschleife wird über dem Magnetfeld losgelassen, sodass sie im freien Fall in das Magnetfeld eintritt.

Begründen Sie, dass beim Eintritt der Leiterschleife in das Magnetfeld die Beschleunigung, die die Schleife erfährt, abnimmt.

[3 BE]

Aufgabe 2

Im Folgenden werden die Eigenschaften von Quantenobjekten betrachtet.

Aufgaben

1 Der Fotoeffekt wurde von Wilhelm Hallwachs im Jahre 1888 entdeckt. Für seine Deutung des Fotoeffekts erhielt Albert Einstein den Nobelpreis des Jahres 1921.

1.1

Skizzieren und beschriften Sie einen Versuchsaufbau, mit dem man die maximale kinetische Energie $E_{\text{kin}}$ der Fotoelektronen bestimmen kann. [3 BE]

Beschreiben Sie mithilfe der Skizze allgemein die Vorgänge beim Fotoeffekt und erläutern Sie, wie die oben beschriebene Größe bestimmt werden kann. [4 BE]

1.2

Folgende Formel gilt beim Fotoeffekt: $E_{\text{kin}} = E_{\text{ph}} - E_{\text{A}}$

Erläutern Sie die drei in der Formel vorkommenden Größen. [3 BE]

1.3

Eine Fotozelle wird nacheinander mit monochromatischem Licht verschiedener Frequenzen beleuchtet. Erst ab einer Frequenz von $5{,}52\cdot 10^{14}\text{ Hz}$ tritt der Fotoeffekt ein.

Berechnen Sie die Austrittsarbeit der Fotozelle und entscheiden Sie, welche Fotozelle aus der Tabelle in Material 1 verwendet wurde. [3 BE]

Material 1: Austrittsarbeiten verschiedener Fotozellen

Fotozelle · $E_{\text{A}}$ in eV

Fotozelle 1 (AgCsO) · 1,04

Fotozelle 2 (Cäsium) · 1,94

Fotozelle 3 (Natrium) · 2,28

Fotozelle 4 (Zink) · 4,34

In Klammern ist das Kathodenmaterial der jeweiligen Fotozellen angegeben.

1.4

Begründen Sie, dass unterhalb einer Grenzfrequenz selbst bei Erhöhung der Lichtintensität der Fotoeffekt nicht auftritt. [2 BE]

1.5

Viele Leuchtdioden (LED) senden monochromatisches Licht aus. Die Lichterzeugung kann man als Umkehrung des Fotoeffekts verstehen. Insbesondere besteht ein proportionaler Zusammenhang zwischen der angelegten Spannung, ab der eine LED zu leuchten beginnt (Schwellenspannung, Mindestspannung), und der Frequenz des emittierten Lichts. In Material 2 sind für verschiedene Leuchtdioden die Schwellen für die notwendigen Spannungen angegeben. Die Tabelle enthält auch Spalten zum Eintragen der Ergebnisse von Aufgabe 1.5.1.

1.5.1 Berechnen Sie die elektrische Energie $E_{\text{el}}$, die ein Elektron beim Durchlaufen der Schwellenspannung gewinnt, und berechnen Sie aus den Wellenlängen des entstehenden Lichts die zugehörigen Frequenzen $f$. [4 BE]

Material 2: Daten für verschiedenfarbige LEDs

„Farbe“ der LED · $U_{\text{Schwelle}}$ in V · $E_{\text{el}}$ in $10^{-19}\text{ J}$ · $\lambda$ in nm · $f$ in $10^{14}\text{ Hz}$

IR · 1,30 · · 939

Rot · 1,75 · · 706

Grün · 2,30 · · 538

UV · 3,80 · · 322

1.5.2 Zeichnen Sie ein Diagramm, das die Energien $E_{\text{el}}$ in Abhängigkeit von den Frequenzen $f$ darstellt, und zeichnen Sie eine Ausgleichsgerade durch die Datenpunkte. [4 BE]

1.5.3 Bestimmen Sie die Steigung der Ausgleichsgeraden und erklären Sie die physikalische Bedeutung dieses Werts. [4 BE]

Aufgabe 2

Im Folgenden werden die Eigenschaften von Quantenobjekten betrachtet.

2.1

Berechnen Sie die Energie und die Masse eines Photons der Wellenlänge von $\lambda = 546\text{ nm}$.

2.2

Die Sonne hat eine Strahlungsleistung von $P = 3{,}845 \cdot 10^{26}\text{ W}$. Vereinfachend wird angenommen, dass das Sonnenlicht eine mittlere Wellenlänge von $546\text{ nm}$ besitzt.

Die Anzahl der von der Sonne in der Zeit $t$ emittierten Photonen kann mit der Formel

$$n = \frac{P \cdot t \cdot \lambda}{h \cdot c}$$

berechnet werden.

Leiten Sie diese Formel her.

Berechnen Sie die Anzahl der von der Sonne pro Sekunde emittierten Photonen.

Aufgabe 2

Im Folgenden werden die Eigenschaften von Quantenobjekten betrachtet.

2.3

Im Jahre 1924 hat Louis de Broglie seine bahnbrechenden Hypothesen aufgestellt, die erst drei Jahre später bestätigt werden konnten.

Nennen Sie die De-Broglie-Gleichung und die grundsätzliche Überlegung, die zu dieser Gleichung führte.

Beschreiben Sie, worin die experimentellen Schwierigkeiten der Bestätigung lagen und wie sie gelöst wurden (z. B. durch Clinton Davisson und Lester Germer).

2.4

Zeigen Sie, dass für den Impuls eines Elektrons, welches aus der Ruhe heraus mit einer nicht zu hohen Beschleunigungsspannung $U$ beschleunigt wurde, gilt: $p = \sqrt{2 \cdot e \cdot U \cdot m_e}$. Dabei ist $e$ die Elementarladung und $m_e$ die Masse des Elektrons.

Berechnen Sie mithilfe der Formel den Impuls eines mit $5\text{ kV}$ beschleunigten Elektrons.

[zur Kontrolle: $p = 3{,}82 \cdot 10^{-23}\text{ Ns}$ ]

2.5

Das Auflösungsvermögen eines Mikroskops, d. h. der Abstand $\Delta x$ zweier Punkte, die gerade noch als getrennt wahrgenommen werden können, wird durch die Wellenlänge des verwendeten Lichts begrenzt. Hierbei gilt vereinfacht, dass die Wellenlänge höchstens gleich dem Auflösungsvermögen sein darf. Durch die Entwicklung von Elektronenmikroskopen, die sich die Welleneigenschaften von Elektronen zunutze machen, konnte das Auflösungsvermögen deutlich verbessert werden und der Blick in die atomare Welt wurde ermöglicht.

2.5.1

Beurteilen Sie, ob die mit $5\text{ kV}$ beschleunigten Elektronen zur Betrachtung atomarer Strukturen im Bereich von $1\text{ nm}$ geeignet sind.

2.5.2

Schätzen Sie ab, um welchen Faktor sich das Auflösungsvermögen bei einer Beschleunigungsspannung von $5\text{ kV}$ im Vergleich zu sichtbarem Licht verbessert hat.

Aufgabe 3

Die beiden quadratischen Platten eines luftgefüllten Plattenkondensators ($\varepsilon_{\text{r,Luft}} = 1$) mit der Seitenlänge $a = 10{,}0\text{ cm}$ haben einen Abstand von $d = 5{,}0\text{ cm}$ und sind vertikal angeordnet. An die Platten wird die Spannung $U = 640\text{ V}$ angelegt. Die Anordnung ist in Material 3 dargestellt. Vereinfachend wird angenommen, dass im Inneren des Kondensators ein homogenes elektrisches Feld vorliegt, außerhalb des Kondensators dagegen keine elektrische Feldstärke vorliegt. Der Kondensator besitzt in der Mitte der rechten Platte ein Loch. Hinter der rechten Kondensatorplatte schließt sich ein scharf begrenztes homogenes Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte 1 $B = 0{,}5\text{ mT}$ an, das senkrecht in die Zeichenebene hinein zeigt. Das Magnetfeld erstreckt sich $25\text{ cm}$ in $x$-Richtung und $40\text{ cm}$ in die positive und negative $y$-Richtung.

Bei den folgenden Berechnungen soll zunächst die Gewichtskraft vernachlässigt werden.

1 Die magnetische Flussdichte wird in manchen Lehrbüchern auch als magnetische Feldstärke bezeichnet.

Material 3

Coulomb-Kraft und Elektron in Feldern

1 Im Folgenden wird die Coulomb-Kraft zwischen zwei gleichnamig geladenen Aluminiumkugeln untersucht. Jede der Kugeln trägt die elektrische Ladung $Q$. Die Kraft $F$ zwischen den beiden Kugeln wird mit einem digitalen Newtonmeter gemessen. Die Experimente werden in Luft ($\varepsilon_{\text{r,Luft}} = 1$) durchgeführt.

1.1

In einem ersten Experiment wird die Abhängigkeit der Coulomb-Kraft von der elektrischen Ladung der Kugeln gemessen. Die Kugeln haben dabei einen konstanten Abstand. Es ergeben sich die in Material 1 angegebenen Messwerte.

Material 1: Coulomb-Kraft zwischen zwei Kugeln: Messwerttabelle

$Q$ in $\text{nC}$

30 · 60 · 90 · 120 · 150 · 180 · 210

$F$ in $\text{mN}$

1,6 · 6,5 · 14,5 · 26,0 · 40,0 · 58,0 · 79,0

Zeichnen Sie aus diesen Werten ein Ladung-Kraft-Diagramm.

Begründen Sie aufgrund des Diagramms einen möglichen Zusammenhang zwischen der Kraft und der elektrischen Ladung. Prüfen Sie diesen Zusammenhang rechnerisch.

1.2

In einem zweiten Experiment wird die Abhängigkeit der Coulomb-Kraft vom Abstand $r$ der Kugelmittelpunkte untersucht. Nun ist die Ladung der Kugeln konstant. Zur Analyse der Messwerte wurden unter anderem die beiden Diagramme in Material 2 erstellt.

Begründen Sie, dass das erste Diagramm einen Zusammenhang in Form einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten vermuten lässt und dass das zweite Diagramm den Zusammenhang $F \sim \frac{1}{r^2}$ bestätigt.

2 Zwei positiv geladene Kugeln tragen die gleiche Ladung. Im Experiment wird die zwischen den Kugeln wirkende Coulomb-Kraft von $F = 51\text{ mN}$ gemessen. Die Kugelmittelpunkte sind $r = 9\text{ cm}$ voneinander entfernt. Die Experimente werden in Luft ($\varepsilon_{\text{r,Luft}} = 1$) durchgeführt.

2.1

Berechnen Sie die Ladung $Q$ auf jeder der Kugeln.

[zur Kontrolle: $Q = 2{,}14 \cdot 10^{-7}\text{ C}$]

2.2

Begründen Sie ohne weitere explizite Berechnung, mit welchem Faktor sich die Coulomb-Kraft verändert, wenn

(i) die Ladung auf beiden Kugeln verdoppelt wird,

(ii) der Abstand verdreifacht wird.

2.3

Die Ladung wird nur auf einer der Kugeln erhöht. Dadurch vergrößert sich die Coulomb-Kraft auf $F = 60\text{ mN}$. Die Kugeln haben weiterhin den Abstand $r = 9\text{ cm}$.

Berechnen Sie die Ladungserhöhung $\Delta Q$ auf der einen Kugel.

Aufgabe 3

Die beiden quadratischen Platten eines luftgefüllten Plattenkondensators ($\varepsilon_{\text{r,Luft}} = 1$) mit der Seitenlänge $a = 10{,}0\text{ cm}$ haben einen Abstand von $d = 5{,}0\text{ cm}$ und sind vertikal angeordnet. An die Platten wird die Spannung $U = 640\text{ V}$ angelegt. Die Anordnung ist in Material 3 dargestellt. Vereinfachend wird angenommen, dass im Inneren des Kondensators ein homogenes elektrisches Feld vorliegt, außerhalb des Kondensators dagegen keine elektrische Feldstärke vorliegt. Der Kondensator besitzt in der Mitte der rechten Platte ein Loch. Hinter der rechten Kondensatorplatte schließt sich ein scharf begrenztes homogenes Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte 1 $B = 0{,}5\text{ mT}$ an, das senkrecht in die Zeichenebene hinein zeigt. Das Magnetfeld erstreckt sich $25\text{ cm}$ in $x$-Richtung und $40\text{ cm}$ in die positive und negative $y$-Richtung.

Bei den folgenden Berechnungen soll zunächst die Gewichtskraft vernachlässigt werden.

1 Die magnetische Flussdichte wird in manchen Lehrbüchern auch als magnetische Feldstärke bezeichnet.

Material 3

3.1 Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators, die elektrische Feldstärke im Inneren des Kondensators und die Ladungsmenge auf den Platten des Kondensators.

[6 BE]

Aufgabe 3

Die beiden quadratischen Platten eines luftgefüllten Plattenkondensators ($\varepsilon_{\text{r,Luft}} = 1$) mit der Seitenlänge $a = 10{,}0\text{ cm}$ haben einen Abstand von $d = 5{,}0\text{ cm}$ und sind vertikal angeordnet. An die Platten wird die Spannung $U = 640\text{ V}$ angelegt. Die Anordnung ist in Material 3 dargestellt. Vereinfachend wird angenommen, dass im Inneren des Kondensators ein homogenes elektrisches Feld vorliegt, außerhalb des Kondensators dagegen keine elektrische Feldstärke vorliegt. Der Kondensator besitzt in der Mitte der rechten Platte ein Loch. Hinter der rechten Kondensatorplatte schließt sich ein scharf begrenztes homogenes Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte 1 $B = 0{,}5\text{ mT}$ an, das senkrecht in die Zeichenebene hinein zeigt. Das Magnetfeld erstreckt sich $25\text{ cm}$ in $x$-Richtung und $40\text{ cm}$ in die positive und negative $y$-Richtung.

Bei den folgenden Berechnungen soll zunächst die Gewichtskraft vernachlässigt werden.

1 Die magnetische Flussdichte wird in manchen Lehrbüchern auch als magnetische Feldstärke bezeichnet.

Material 3

3.2

Berechnen Sie die Geschwindigkeit eines Elektrons, das durch das elektrische Feld des Kondensators aus der Ruhe heraus von der linken Platte zur rechten Platte hin beschleunigt wurde und den Kondensator durch das Loch in der rechten Platte verlässt. [zur Kontrolle: $v = 1{,}5 \cdot 10^7\, \frac{\text{m}}{\text{s}}$]

[4 BE]

3.3

Nach Verlassen des Kondensators tritt das Elektron in das magnetische Feld hinter der rechten Kondensatorplatte ein.

3.3.1

Begründen Sie, dass die Flugbahn des Elektrons ein Kreisbogen ist. Berechnen Sie den Radius $r$ dieser Bahn und skizzieren Sie die Flugbahn in Material 3. [zur Kontrolle: $r = 17\, \text{cm}$]

[7 BE]

3.3.2

Erläutern Sie, mit welchem Geschwindigkeitsbetrag und in welche Richtung das Elektron das Magnetfeld verlässt.

[3 BE]

3.3.3

Berechnen Sie die Zeit, die das Elektron benötigt, um den kompletten Plattenkondensator sowie das magnetische Feld bis zu seinem Rand zu durchlaufen. [zur Kontrolle: $t_{\text{ges}} = 42{,}3\, \text{ns}$]

[6 BE]

3.4

Beurteilen Sie mithilfe einer Rechnung die Behauptung, dass die Gewichtskraft messbar den Austrittspunkt des Elektrons aus dem Magnetfeld beeinflusst.

[3 BE]