Abitur Hessen Mathematik 2020 · LK · Teil B · Analysis (WTR)

Der Graph einer in $[0;3]$ definierten ganzrationalen Funktion $g$ geht im Punkt $A(0 \mid 1{,}5)$ ohne Knick in die Gerade mit der Gleichung $y = 1{,}5$ über und im Punkt $B(3 \mid -0{,}5)$ ohne Knick in die Gerade mit der Gleichung $y = -4x + 11{,}5$.

1 Aufgabe

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -\frac{8}{27}x^3 + \frac{2}{3}x^2$, die die Nullstellen $0$ und $\frac{9}{4}$ hat. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

a

Bestimmen Sie Lage und Art der Extrempunkte von $G_f$. Skizzieren Sie $G_f$ unter Berücksichtigung der bisherigen Informationen sowie des Funktionswerts für $x = -2$ in einem geeigneten Koordinatensystem. [7 BE]

b

Die Tangente an $G_f$ im Punkt $\left(\frac{9}{4} \Big| 0\right)$ wird mit $t$ bezeichnet. Weisen Sie nach, dass $t$ durch den Punkt $\left(0 \Big| \frac{27}{8}\right)$ verläuft. Begründen Sie, dass der Inhalt des Flächenstücks, das $G_f$ im ersten Quadranten mit $t$ und der y-Achse einschließt, kleiner als $\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{27}{8}$ ist. [5 BE]

Der Graph einer in $[0;3]$ definierten ganzrationalen Funktion $g$ geht im Punkt $A(0 \mid 1{,}5)$ ohne Knick in die Gerade mit der Gleichung $y = 1{,}5$ über und im Punkt $B(3 \mid -0{,}5)$ ohne Knick in die Gerade mit der Gleichung $y = -4x + 11{,}5$.

a)

Zeigen Sie rechnerisch, dass der Grad von $g$ unter den beschriebenen Bedingungen nicht zwei sein kann.

Der Graph einer in $[0;3]$ definierten ganzrationalen Funktion $g$ geht im Punkt $A(0 \mid 1{,}5)$ ohne Knick in die Gerade mit der Gleichung $y = 1{,}5$ über und im Punkt $B(3 \mid -0{,}5)$ ohne Knick in die Gerade mit der Gleichung $y = -4x + 11{,}5$.

b)

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g$. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem der Abstand des Punkts $M(1{,}5 \mid 1)$ zum Graphen von $g$ berechnet werden könnte, wenn der Funktionsterm von $g$ bekannt wäre.

In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die $\text{CO}_2$-Konzentration in der Luft gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Die Tabelle gibt für die Jahre 1960, 1985 und 2010 jeweils den jährlichen Durchschnittswert der Messwerte an.

Jahr · 1960 · 1985 · 2010

$\text{CO}_2$-Konzentration · $317\text{ ppm}$ · $346\text{ ppm}$ · $390\text{ ppm}$

Innerhalb eines Jahres schwankt die $\text{CO}_2$-Konzentration. Für einen bestimmten Zeitraum von acht Monaten lassen sich die gemessenen Werte modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k: x \mapsto 3{,}3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}x\right) + 406$ beschreiben. Dabei ist $x$ die in diesem Zeitraum vergangene Zeit in Monaten und $k(x)$ die $\text{CO}_2$-Konzentration in ppm. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.

a)

Die jährlichen Durchschnittswerte haben sich im Zeitraum von 1960 bis 1985 in guter Näherung exponentiell entwickelt. Ermitteln Sie die zugehörige jährliche Wachstumsrate in Prozent.

(zur Kontrolle: etwa 0,35 %)

%

b)

Berechnen Sie unter der Annahme, dass sich das exponentielle Wachstum nach 1985 in gleicher Weise fortgesetzt hat, den jährlichen Durchschnittswert für das Jahr 2010. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem zugehörigen Wert aus der Tabelle und formulieren Sie das Ergebnis Ihres Vergleichs im Sachzusammenhang.

ppm

c)

Geben Sie an, wie der Graph von $k$ schrittweise aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $s: x \mapsto \sin(x)$ hervorgeht. Beurteilen Sie, ob die Reihenfolge der einzelnen Schritte von Bedeutung ist.

In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die $\text{CO}_2$-Konzentration in der Luft gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Die Tabelle gibt für die Jahre 1960, 1985 und 2010 jeweils den jährlichen Durchschnittswert der Messwerte an.

Jahr · 1960 · 1985 · 2010

$\text{CO}_2$-Konzentration · $317\text{ ppm}$ · $346\text{ ppm}$ · $390\text{ ppm}$

Innerhalb eines Jahres schwankt die $\text{CO}_2$-Konzentration. Für einen bestimmten Zeitraum von acht Monaten lassen sich die gemessenen Werte modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k: x \mapsto 3{,}3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}x\right) + 406$ beschreiben. Dabei ist $x$ die in diesem Zeitraum vergangene Zeit in Monaten und $k(x)$ die $\text{CO}_2$-Konzentration in ppm. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.

d)

Der durchschnittliche Funktionswert einer Funktion $h$ im Intervall $[a; b]$ kann mithilfe der folgenden Überlegung bestimmt werden:

Schließt der Graph von $h$ mit der $x$-Achse und den Geraden mit den Gleichungen $x = a$ und $x = b$ ein Flächenstück ein, so gibt es ein Rechteck der Länge $b - a$, das den gleichen Flächeninhalt wie das Flächenstück hat (vgl. Abbildung 2). Die Breite dieses Rechtecks stimmt mit dem Betrag des durchschnittlichen Funktionswerts von $h$ im Intervall $[a; b]$ überein.

Bestimmen Sie für den betrachteten Zeitraum von acht Monaten die prozentuale Abweichung des Maximums der $\text{CO}_2$-Konzentration von der durchschnittlichen $\text{CO}_2$-Konzentration.

ppm

%

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_k: x \mapsto 10 \cdot (1 - \mathrm{e}^{-kx}) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ betrachtet. Der Graph von $h_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Die Abbildung 2 zeigt $G_1$.

Für die erste Ableitungsfunktion $h_k'$ von $h_k$ gilt $h_k'(x) = 10 \cdot ((k + 1) \cdot \mathrm{e}^{-kx} - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktion $f$ vierten Grades. Die Tangente im Wendepunkt $W(4|18)$ des Graphen hat die Steigung $-4$.

a)

Zeichnen Sie die beschriebene Tangente in die Abbildung 1 ein und geben Sie die beiden Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ an.

[3 BE]

$x_1 =$

$x_2 =$

b)

Der Graph von $f'$ hat einen Tiefpunkt. Geben Sie die Koordinaten dieses Tiefpunkts an und begründen Sie Ihre Angabe.

[3 BE]

$T($

$|$

$)$

c)

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Für jede Stammfunktion $F$ von $f$ gilt $F(x + 2) > F(x) + 20$ für jeden Wert von $x \in [0; 5]$.

[3 BE]

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_k: x \mapsto 10 \cdot (1 - \mathrm{e}^{-kx}) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ betrachtet. Der Graph von $h_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Die Abbildung 2 zeigt $G_1$.

Für die erste Ableitungsfunktion $h_k'$ von $h_k$ gilt $h_k'(x) = 10 \cdot ((k + 1) \cdot \mathrm{e}^{-kx} - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

a)

Begründen Sie, dass $h_k$ nur die Nullstelle $x = 0$ hat.

Geben Sie den Grenzwert von $h_k$ für $x \to +\infty$ an.

$\lim\limits_{x \to +\infty} h_k(x) =$

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_k: x \mapsto 10 \cdot (1 - \mathrm{e}^{-kx}) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ betrachtet. Der Graph von $h_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Die Abbildung 2 zeigt $G_1$.

Für die erste Ableitungsfunktion $h_k'$ von $h_k$ gilt $h_k'(x) = 10 \cdot ((k + 1) \cdot \mathrm{e}^{-kx} - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

b)

Bestimmen Sie die $x$-Koordinate des Hochpunkts von $G_k$.

$x =$

c)

Betrachtet werden die Tangente an $G_k$ im Koordinatenursprung und die Gerade, die zu dieser Tangente im Koordinatenursprung senkrecht steht. Diese beiden Geraden schneiden die Gerade mit der Gleichung $y = 1$. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Abstand der beiden Schnittpunkte $10k + \frac{1}{10k}$ ist.

d)

Betrachtet man den Abstand aus Teilaufgabe 2c für alle Werte von $k$, so ist dieser für einen Wert von $k$ am kleinsten. Bestimmen Sie diesen Wert und geben Sie den zugehörigen Abstand an.

$k =$

$d =$

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_k: x \mapsto 10 \cdot (1 - \mathrm{e}^{-kx}) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ betrachtet. Der Graph von $h_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Die Abbildung 2 zeigt $G_1$.

Für die erste Ableitungsfunktion $h_k'$ von $h_k$ gilt $h_k'(x) = 10 \cdot ((k + 1) \cdot \mathrm{e}^{-kx} - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

3 Am 26. April 1986 ereignete sich in der Ukraine ein Reaktorunfall, bei dem radioaktives Plutonium-241 freigesetzt wurde. Plutonium-241 zerfällt exponentiell, d. h. in jedem Jahr nimmt die Masse des vorhandenen Plutonium-241 um einen konstanten prozentualen Anteil ab.

Im Folgenden wird der Zerfall einer bestimmten Menge Plutonium-241 betrachtet. Dieser Zerfall wird durch die Funktion $p$ mit $p(x) = 200 \cdot e^{-0{,}0480x}$ und $x \in \mathbb{R}_0^+$ beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Jahren, die seit dem Reaktorunfall vergangen ist, und $p(x)$ die Masse des verbliebenen Plutonium-241 in Milligramm.

a)

Geben Sie die Bedeutung des Faktors $200$ im Sachzusammenhang an und berechnen Sie den prozentualen Anteil, um den die Masse des Plutonium-241 in jedem Jahr abnimmt.

%

b)

Bestimmen Sie das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium-241 vorhanden sein wird.

Bei dem Zerfall des Plutonium-241 entsteht radioaktives Americium-241, das ebenfalls exponentiell zerfällt. Im verwendeten Modell gibt die Funktion $a$ mit $a(x) = 207 \cdot (1 - e^{-0{,}0464x}) \cdot e^{-0{,}0016x}$ für jedes Jahr die Masse des vorhandenen Americium-241 in Milligramm an.

c)

Der Graph von $a$ kann für einen Wert von $k$ aus dem Graphen der Funktion $h_k$ aus Aufgabe 2 erzeugt werden, indem man diesen in $x$-Richtung und in $y$-Richtung streckt. Geben Sie die beiden Streckungsfaktoren an und bestimmen Sie den passenden Wert von $k$.

d)

Im Funktionsterm von $a$ erfasst der Faktor $1 - e^{-0{,}0464x}$ die Zunahme der Masse des vorhandenen Americium-241 und der Faktor $e^{-0{,}0016x}$ den Zerfall des vorhandenen Americium-241. Begründen Sie, dass es einen Zeitpunkt gibt, zu dem beide Faktoren den gleichen Wert annehmen.

e)

Geben Sie die Bedeutung der Aussage $\frac{a(73)}{73} \approx 2{,}4$ im Sachzusammenhang an. Begründen Sie Ihre Angabe.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto \mathrm{e}^{kx} - x - 1$ mit $k \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Betrachtet wird zunächst die Funktion $f_{10}$ mit $f_{10}(x) = \mathrm{e}^{10x} - x - 1$.

a)

Die Abbildung 1 zeigt $G_{10}$. Im dargestellten Bereich gibt es zwei Rechtecke, die jeweils die beiden folgenden Eigenschaften haben:

Zwei Eckpunkte liegen auf der x-Achse und zwei Eckpunkte auf $G_{10}$.

Eine Seitenlänge beträgt 0,4.

Zeichnen Sie diese beiden Rechtecke in die Abbildung 1 ein. Begründen Sie ohne zu rechnen, dass die beiden Rechtecke unterschiedliche Flächeninhalte haben.

b)

Begründen Sie, dass $G_{10}$ und die Gerade mit der Gleichung $y = -x - 1$ keinen Punkt gemeinsam haben. Beschreiben Sie sowohl für $x \to -\infty$ als auch für $x \to +\infty$ den Verlauf von $G_{10}$ bezüglich dieser Gerade.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto \mathrm{e}^{kx} - x - 1$ mit $k \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Betrachtet wird zunächst die Funktion $f_{10}$ mit $f_{10}(x) = \mathrm{e}^{10x} - x - 1$.

c)

Berechnen Sie den Wert des Terms $\int_{-1}^0 f_{10}(x)\,\mathrm{d}x$.

d)

Betrachtet wird der Inhalt der Fläche, die $G_{10}$ mit der x-Achse und der Gerade mit der Gleichung $x = -1$ einschließt. Begründen Sie, dass dieser Inhalt geringfügig größer ist als der Wert des Terms $\left|\int_{-1}^0 f_{10}(x)\,\mathrm{d}x\right|$, ohne den Inhalt zu berechnen.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto \mathrm{e}^{kx} - x - 1$ mit $k \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

2 Betrachtet wird nun die gesamte Schar der Funktionen $f_k$.

a)

Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar genau einen Punkt gemeinsam haben, und bestimmen Sie dessen Koordinaten.

$P($

$\mid$

$)$

b)

Die Abbildung 2 zeigt vier Graphen der Schar, darunter diejenigen zu den Werten $k = -1$, $k = 0$ und $k = 1$. Nehmen Sie die passende Zuordnung vor.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto \mathrm{e}^{kx} - x - 1$ mit $k \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Für die erste Ableitungsfunktion von $f_k$ gilt $f_k'(x) = k \cdot \mathrm{e}^{kx} - 1$.

c)

Beim Ableiten von $f_k$ wurde die folgende Regel angewendet:

Betrachtet man differenzierbare Funktionen $u$, $v$ und $w$ mit $w(x) = v(u(x))$, so hat die erste Ableitungsfunktion von $w$ den Term $w'(x) = v'(u(x)) \cdot u'(x)$.

Stellen Sie den Zusammenhang zwischen dem Ableiten von $f_k$ und dieser Regel her, indem Sie für $u$, $v$ und $w$ jeweils einen passenden Funktionsterm angeben. [3 BE]

d)

Weisen Sie nach, dass alle Graphen $G_k$ weder Hochpunkte noch Wendepunkte haben. [5 BE]

Für positive Werte von $k$ hat $G_k$ den Tiefpunkt $T_k\left(-\frac{\ln k}{k} \;\middle|\; \frac{\ln k}{k} - 1 + \frac{1}{k}\right)$.

e)

Ermitteln Sie den Abstand von $T_k$ zur Gerade mit der Gleichung $y = -x - 1$. [5 BE]

f)

Für $k \to +\infty$ nähert sich $T_k$ einem Punkt $A$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $A$. [2 BE]

g)

Berechnen Sie denjenigen Wert von $k$, für den $G_k$ im Koordinatenursprung einen Steigungswinkel der Größe $60^\circ$ hat. [2 BE]

h)

Betrachtet wird die folgende Behauptung:

Zu zwei beliebigen verschiedenen Graphen $G_{k_1}$ und $G_{k_2}$ gibt es einen Wert von $x$, für den die beiden Graphen die gleiche Steigung haben.

Unter der Voraussetzung, dass $k_1$ und $k_2$ positiv sind, ist die Behauptung richtig; bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $x$. [3 BE]

Entscheiden Sie, ob die Behauptung auch dann richtig sein kann, wenn entweder $k_1$ oder $k_2$ nicht positiv ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung. [2 BE]

Kann die Behauptung auch dann richtig sein, wenn entweder $k_1$ oder $k_2$ nicht positiv ist?