Abitur Hessen Mathematik 2020 · LK · Teil A · Analytische Geometrie

In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der $x_1x_2$-Ebene liegt. $M(8|5|10)$ ist der Mittelpunkt der Deckfläche.

a

Weisen Sie nach, dass der Punkt $P(5|1|0)$ auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders liegt.

[2 BE]

b

Unter allen Punkten auf dem Rand der Deckfläche hat der Punkt $S$ den kleinsten Abstand von $P$, der Punkt $T$ den größten. Geben Sie die Koordinaten von $S$ an und bestimmen Sie die Koordinaten von $T$.

[3 BE]

In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der $x_1x_2$-Ebene liegt. $M(8|5|10)$ ist der Mittelpunkt der Deckfläche.

Die Abbildung zeigt in einem Koordinatensystem modellhaft eine $7\text{ m}$ breite Theaterkulisse. Die linke Seitenwand liegt im Modell in der xz-Ebene, die rechte Seitenwand ist dazu parallel. Ein auf der Bühne stehender Gegenstand wird von einer Lampe beleuchtet. Die Lampe wird im Modell durch den Punkt $L(4|0|5)$ dargestellt, die Spitze des Gegenstands durch den Punkt $S(1|6|2)$.

Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Schatten der Spitze auf der rechten Seitenwand liegt.

Ja

Nein

$P($

$|$

$|$

$)$

In einem Koordinatensystem werden die geraden Pyramiden $AB_tC_tD_tS_t$ mit $A(0|0|0)$, $B_t(t|0|0)$, $C_t(t|t|0)$ und $D_t(0|t|0)$ und $t \in \mathbb{R}^+$ betrachtet; die Punkte $S_t$ haben jeweils die z-Koordinate $\frac{t}{8}$. Die Abbildung zeigt die Pyramide für $t = 6$.

Die Ebene $E: 3y + 4z = 24$ enthält den Punkt $S_t$ für $t = 12$.

a)

Begründen Sie, dass $E$ parallel zur x-Achse verläuft.

[1 BE]

b)

Untersuchen Sie, für welche Werte von $t$ die Pyramide und die Ebene $E$ gemeinsame Punkte haben.

[4 BE]