Abitur Hessen Mathematik 2020 · GK · Teil B · Analysis (WTR)

Die Abbildung zeigt das Logo eines Geschäfts für Anglerbedarf. Die obere Spitze der Schwanzflosse des Fischs liegt auf der Wasseroberfläche; die Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse steht senkrecht zur Wasseroberfläche.

Bei Verwendung eines geeigneten Koordinatensystems kann die untere Begrenzungslinie des Fischs mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u: x \mapsto \frac{1}{8}x^3$, die obere Begrenzungslinie mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v: x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (4-x)$ beschrieben und die Wasseroberfläche durch die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{5}{4}$ dargestellt werden.

a

Zeigen Sie, dass

die Graphen von $u$ und $v$ nur die Punkte $P(0|0)$ und $Q\left(\frac{8}{3}\Big|\frac{64}{27}\right)$ gemeinsam haben;

$v'(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 2x$ ein Term der ersten Ableitungsfunktion von $v$ ist.

b

Weisen Sie nach, dass der Punkt $Q$ ein Extrempunkt des Graphen von $v$ ist, und geben Sie die Art dieses Extrempunkts an.

c

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Für jeden Wert von $x \in \left]0; \frac{8}{3}\right[$ ist die Steigung des Graphen von $v$ größer als die Steigung des Graphen von $u$.

d

Die Ausdehnung des Fischs in y-Richtung beträgt $\frac{539}{216}$. Ermitteln Sie damit die Ausdehnung des Fischs in x-Richtung.

(zur Kontrolle: Die Ausdehnung in x-Richtung beträgt $\frac{11}{3}$.)

Das Logo des Geschäfts soll verändert werden. Für die obere Begrenzungslinie des Fischs wird weiterhin die Funktion $v$ verwendet. Die untere Begrenzungslinie jedoch soll anstelle von $u$ mithilfe einer anderen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u_k: x \mapsto \frac{1}{8}k \cdot x^3$ mit $k > 0$ beschrieben werden. Der gemeinsame Punkt der Graphen von $u_k$ und $v$, der die x-Koordinate $\frac{8}{k+2}$ hat, stellt die Kopfspitze dar.

g

Weisen Sie nach, dass die x-Achse für alle Werte von $k$ Tangente an den Graphen von $u_k$ in dessen Wendepunkt ist.

h

Bestimmen Sie, wie der Wert von $k$ gewählt werden müsste, damit die Ausdehnung der Schwanzflosse in y-Richtung $\frac{3}{2}$ beträgt.

i

Die Graphen von $u_k$ und $v$ schließen mit der Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse jeweils einen Winkel ein. Für einen Wert von $k$ sind die beiden Winkel gleich groß. Prüfen Sie, ob die Kopfspitze für diesen Wert von $k$ oberhalb der Wasseroberfläche liegt.

Die Abbildung zeigt das Logo eines Geschäfts für Anglerbedarf. Die obere Spitze der Schwanzflosse des Fischs liegt auf der Wasseroberfläche; die Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse steht senkrecht zur Wasseroberfläche.

Bei Verwendung eines geeigneten Koordinatensystems kann die untere Begrenzungslinie des Fischs mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u: x \mapsto \frac{1}{8}x^3$, die obere Begrenzungslinie mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v: x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (4-x)$ beschrieben und die Wasseroberfläche durch die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{5}{4}$ dargestellt werden.

e)

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Schwanzflosse des Fischs.

f)

Bezeichnet man die Lösung der Gleichung $v(x) = \frac{5}{4}$ für $0 < x \le \frac{8}{3}$ mit $x_1$ und die Lösung der Gleichung $u(x) = \frac{5}{4}$ mit $x_2$, so ist der Wert des Terms

$$\int_{-1}^{x_1} (v(x) - u(x)) \, \mathrm{d}x + \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{5}{4} - u(x)\right) \mathrm{d}x$$

die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang. Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und beschreiben Sie die Bedeutung der beiden Integrale im Zusammenhang mit der Aufgabe.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{10}x \cdot (3-x) \cdot \mathrm{e}^x$ und $x \in \mathbb{R}$.

Für die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gilt $f'(x) = -\frac{1}{10} \cdot (x^2 - x - 3) \cdot \mathrm{e}^x$.

a

Geben Sie die Nullstellen von $f$ an und berechnen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f$.

c

Eine der Tangenten an den Graphen von $f$ verläuft durch den Punkt $(0\mid \frac{1}{2})$. Zeichnen Sie diese Tangente in die Abbildung 1 ein und geben Sie eine Gleichung der eingezeichneten Gerade an.

d

Berechnen Sie die Größe des Steigungswinkels des Graphen von $f$ im Koordinatenursprung.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{10}x \cdot (3-x) \cdot \mathrm{e}^x$ und $x \in \mathbb{R}$.

Für die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gilt $f'(x) = -\frac{1}{10} \cdot (x^2 - x - 3) \cdot \mathrm{e}^x$.

b

Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von $f$ für $x \to -\infty$ und begründen Sie Ihre Angabe anhand des Funktionsterms von $f$.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{10}x \cdot (3-x) \cdot \mathrm{e}^x$ und $x \in \mathbb{R}$.

Für die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gilt $f'(x) = -\frac{1}{10} \cdot (x^2 - x - 3) \cdot \mathrm{e}^x$.

e)

Zeigen Sie, dass die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F$ mit $F(x) = -\frac{1}{10} \cdot (x^2 - 5x + 5) \cdot e^x$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

f)

Deuten Sie das Integral $\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ geometrisch und berechnen Sie seinen Wert.

g)

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass es eine positive Zahl $a$ gibt, für die $\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ gilt.

h)

Begründen Sie ohne Verwendung des Funktionsterms von $F$, dass der Graph jeder Stammfunktion von $f$ einen Tiefpunkt hat, der auf der y-Achse liegt. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion, für die sich dieser Tiefpunkt im Koordinatenursprung befindet.

Für jeden Wert von $b \in \mathbb{R}_0^+$ ist eine Funktion $g_b$ mit $g_b(x) = \frac{1}{10}x \cdot (x - b) \cdot \mathrm{e}^x$ und $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Für die erste Ableitungsfunktion von $g_b$ gilt $g'_b(x) = \frac{1}{10} \cdot (x^2 + (2-b) \cdot x - b) \cdot \mathrm{e}^x$. Die Abbildung 2 zeigt die Graphen von $g_2$ und $g_3$.

a)

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $b$, für den der Graph von $g_b$ und der Graph von $f$ eine Figur einschließen, die bezüglich der x-Achse symmetrisch ist.

$b =$

b)

Für jeden Wert von $b$ haben die Graphen von $g_b$ und $g'_b$ einen gemeinsamen Punkt. Berechnen Sie die x-Koordinate dieses Punkts.

Für jeden Wert von $b \in \mathbb{R}_0^+$ ist eine Funktion $g_b$ mit $g_b(x) = \frac{1}{10}x \cdot (x - b) \cdot \mathrm{e}^x$ und $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Für die erste Ableitungsfunktion von $g_b$ gilt $g'_b(x) = \frac{1}{10} \cdot (x^2 + (2-b) \cdot x - b) \cdot \mathrm{e}^x$. Die Abbildung 2 zeigt die Graphen von $g_2$ und $g_3$.

c)

Für jeden Wert von $b$ schließen die Graphen von $g_b$ und $g_{b+1}$ im vierten Quadranten mit der x-Achse ein Flächenstück ein. Markieren Sie dieses Flächenstück für $b = 2$ in der Abbildung 2.

Für einen Wert von $b$ beträgt der Inhalt des Flächenstücks 5; geben Sie eine Gleichung an, mit der dieser Wert von $b$ bestimmt werden könnte.