Abitur Hessen Mathematik 2020 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Seit mehreren Jahren werden Bienenvölker in Europa von Milben bedroht. In einer bestimmten Region werden jeweils am Ende der Winterruhe alle Völker kontrolliert, um festzustellen, wie viele gesund, wie viele mit Milben befallen und wie viele seit dem ersten Milbenbefall insgesamt verendet sind. Die Zusammensetzungen der Population der Bienenvölker können durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} g \\ b \\ v \end{pmatrix}$ dargestellt werden, wobei $g$ die Anzahl der gesunden, $b$ die Anzahl der befallenen und $v$ die Anzahl der verendeten Völker bezeichnet. Die Entwicklung der Zusammensetzung der Population von einem Jahr $n$ zum nächsten kann modellhaft durch die Gleichung $\vec{x}_{n+1} = M \cdot \vec{x}_n$ mit$$M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}4 & 0 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0 \\ 0{,}1 & 0{,}4 & 1 \end{pmatrix}$$beschrieben werden.

a)

Stellen Sie die Entwicklung in einem Übergangsdiagramm dar.

b)

Beschreiben Sie die Bedeutung der Einträge in der zweiten Spalte von $M$ im Sachzusammenhang. Begründen Sie, dass die Population gemäß dem Modell langfristig aussterben würde.

Im Jahr 2005 wurde festgestellt, dass 8760 Völker gesund, 1320 mit Milben befallen und seit dem ersten Milbenbefall insgesamt 4920 verendet sind.

c)

Ermitteln Sie das Jahr, in dem zum ersten Mal ein Milbenbefall festgestellt wurde sowie die Anzahl der Völker, die es ein Jahr vor der Feststellung des ersten Milbenbefalls gab.

d)

Um ein Aussterben der Population zu verhindern, wurden in den Jahren 2005 und 2006 jeweils unmittelbar nach dem Zeitpunkt, zu dem alle Völker kontrolliert wurden, halb so viele gesunde Bienenvölker ergänzt, wie im vorangegangenen Jahr verendet waren. Bestimmen Sie die Anzahl der Völker, die in den Jahren 2005 und 2006 insgesamt ergänzt wurden.

Eine Seite einer Zelle einer Bienenwabe kann in der xy-Ebene eines Koordinatensystems modellhaft durch das regelmäßige Sechseck $ABCDEF$ mit $A(0|0|0)$ und $B(3|0|0)$ dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit entspricht einem Millimeter in der Realität.

a)

Begründen Sie, dass die Innenwinkel des Sechsecks $120^\circ$ groß sind.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $D$.

$D($ $|$ $|$ $)$

b)

Eine andere Seite der Zelle wird im Modell durch die Raute $GHIJ$ mit $G(0|0|8)$, $H\left(3\left|0\right|8-\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$ und $I\left(\frac{9}{2}\left|\frac{3\sqrt{3}}{2}\right|8\right)$ dargestellt. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Seite der Zelle.