Abitur Hessen Mathematik 2020 · GK · Teil B · Analysis (CAS)

Die Abbildung zeigt das Logo eines Geschäfts für Anglerbedarf. Die obere Spitze der Schwanzflosse des Fischs liegt auf der Wasseroberfläche; die Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse steht senkrecht zur Wasseroberfläche.

Bei Verwendung eines geeigneten Koordinatensystems kann die untere Begrenzungslinie des Fischs mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u: x \mapsto \frac{1}{8}x^3$, die obere Begrenzungslinie mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v: x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (4-x)$ beschrieben und die Wasseroberfläche durch die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{5}{4}$ dargestellt werden.

Das Logo des Geschäfts soll verändert werden. Für die obere Begrenzungslinie des Fischs wird weiterhin die Funktion $v$ verwendet. Die untere Begrenzungslinie jedoch soll anstelle von $u$ mithilfe einer anderen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u_k: x \mapsto \frac{1}{8}k \cdot x^3$ mit $k > 0$ beschrieben werden. Der gemeinsame Punkt der Graphen von $u_k$ und $v$, der die x-Koordinate $\frac{8}{k+2}$ hat, stellt die Kopfspitze dar.

a

Zeigen Sie, dass die Graphen von $u$ und $v$ nur die Punkte $P(0 \mid 0)$ und $Q\left(\frac{8}{3} \,\middle|\, \frac{64}{27}\right)$ gemeinsam haben.

[3 BE]

Die Abbildung zeigt das Logo eines Geschäfts für Anglerbedarf. Die obere Spitze der Schwanzflosse des Fischs liegt auf der Wasseroberfläche; die Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse steht senkrecht zur Wasseroberfläche.

Bei Verwendung eines geeigneten Koordinatensystems kann die untere Begrenzungslinie des Fischs mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u: x \mapsto \frac{1}{8}x^3$, die obere Begrenzungslinie mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v: x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (4-x)$ beschrieben und die Wasseroberfläche durch die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{5}{4}$ dargestellt werden.

Das Logo des Geschäfts soll verändert werden. Für die obere Begrenzungslinie des Fischs wird weiterhin die Funktion $v$ verwendet. Die untere Begrenzungslinie jedoch soll anstelle von $u$ mithilfe einer anderen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u_k: x \mapsto \frac{1}{8}k \cdot x^3$ mit $k > 0$ beschrieben werden. Der gemeinsame Punkt der Graphen von $u_k$ und $v$, der die x-Koordinate $\frac{8}{k+2}$ hat, stellt die Kopfspitze dar.

b

Weisen Sie nach, dass der Punkt Q ein Extrempunkt des Graphen von $v$ ist, und geben Sie die Art dieses Extrempunkts an.

c

Entscheiden Sie für jede der Aussagen I und II, ob sie richtig oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung jeweils rechnerisch.

I Für jeden Wert von $x \in \left]0;\frac{8}{3}\right[$ ist die Steigung des Graphen von $v$ größer als die Steigung des Graphen von $u$.

II Die Graphen von $u$ und $v$ berühren sich im Punkt $P$.

d

Berechnen Sie die Ausdehnung des Fischs in x-Richtung und in y-Richtung.

f

Weisen Sie nach, dass die x-Achse für alle Werte von $k$ Tangente an den Graphen von $u_k$ in dessen Wendepunkt ist.

h

Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters $k$ auf die Lage der Kopfspitze.

i

Untersuchen Sie für jede der folgenden Eigenschaften I, II und III, für welche Werte von $k$ diese zutrifft.

Die Abbildung zeigt das Logo eines Geschäfts für Anglerbedarf. Die obere Spitze der Schwanzflosse des Fischs liegt auf der Wasseroberfläche; die Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse steht senkrecht zur Wasseroberfläche.

Bei Verwendung eines geeigneten Koordinatensystems kann die untere Begrenzungslinie des Fischs mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u: x \mapsto \frac{1}{8}x^3$, die obere Begrenzungslinie mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v: x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (4-x)$ beschrieben und die Wasseroberfläche durch die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{5}{4}$ dargestellt werden.

Das Logo des Geschäfts soll verändert werden. Für die obere Begrenzungslinie des Fischs wird weiterhin die Funktion $v$ verwendet. Die untere Begrenzungslinie jedoch soll anstelle von $u$ mithilfe einer anderen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u_k: x \mapsto \frac{1}{8}k \cdot x^3$ mit $k > 0$ beschrieben werden. Der gemeinsame Punkt der Graphen von $u_k$ und $v$, der die x-Koordinate $\frac{8}{k+2}$ hat, stellt die Kopfspitze dar.

e) Der dunkelgrau markierte Teil des Fischs befindet sich im Wasser. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Teils des Fischs. [6 BE]

FE

Die Abbildung zeigt das Logo eines Geschäfts für Anglerbedarf. Die obere Spitze der Schwanzflosse des Fischs liegt auf der Wasseroberfläche; die Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse steht senkrecht zur Wasseroberfläche.

Bei Verwendung eines geeigneten Koordinatensystems kann die untere Begrenzungslinie des Fischs mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u: x \mapsto \frac{1}{8}x^3$, die obere Begrenzungslinie mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v: x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (4-x)$ beschrieben und die Wasseroberfläche durch die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{5}{4}$ dargestellt werden.

Das Logo des Geschäfts soll verändert werden. Für die obere Begrenzungslinie des Fischs wird weiterhin die Funktion $v$ verwendet. Die untere Begrenzungslinie jedoch soll anstelle von $u$ mithilfe einer anderen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u_k: x \mapsto \frac{1}{8}k \cdot x^3$ mit $k > 0$ beschrieben werden. Der gemeinsame Punkt der Graphen von $u_k$ und $v$, der die x-Koordinate $\frac{8}{k+2}$ hat, stellt die Kopfspitze dar.

Das Logo des Geschäfts soll verändert werden. Für die obere Begrenzungslinie des Fischs wird weiterhin die Funktion $v$ verwendet. Die untere Begrenzungslinie jedoch soll anstelle von $u$ mithilfe einer anderen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u_k: x \mapsto \frac{1}{8}k \cdot x^3$ mit $k > 0$ beschrieben werden. Der gemeinsame Punkt der Graphen von $u_k$ und $v$, der die x-Koordinate $\frac{8}{k+2}$ hat, stellt die Kopfspitze dar.

g) Bestimmen Sie, wie der Wert von $k$ gewählt werden müsste, damit die Ausdehnung der Schwanzflosse in y-Richtung $\frac{3}{2}$ beträgt. [3 BE]

k =

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{10}x \cdot (3 - x) \cdot \mathrm{e}^x$ und $x \in \mathbb{R}$.

b

Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von $f$ für $x \to -\infty$ und $x \to +\infty$. [2 BE]

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{10}x \cdot (3 - x) \cdot \mathrm{e}^x$ und $x \in \mathbb{R}$.

a

Geben Sie die Nullstellen von $f$ an. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von $f$ im ersten Quadranten einen Wendepunkt hat. [4 BE]

c

Es gibt zwei Tangenten an den Graphen von $f$, deren Steigung $\frac{3e}{10}$ ist. Berechnen Sie für eine dieser Tangenten die y-Koordinate des Schnittpunkts mit der y-Achse sowie die Größe des Winkels, unter dem sie die y-Achse schneidet. [5 BE]

°

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{10}x \cdot (3 - x) \cdot \mathrm{e}^x$ und $x \in \mathbb{R}$.

d

Berechnen Sie den Wert des Terms $F(3) - F(0)$ und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. [2 BE]

e

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass es eine positive Zahl $a$ gibt, für die $\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ gilt. [3 BE]

f

Begründen Sie ohne Integration, dass der Graph jeder Stammfunktion von $f$ einen Tiefpunkt hat, der auf der y-Achse liegt. [3 BE]

g

Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von $f$, deren Graph einen Tiefpunkt im Koordinatenursprung hat. [3 BE]

Für jeden Wert von $b \in \mathbb{R}_0^+$ ist eine Funktion $g_b$ mit $$g_b(x) = \frac{1}{10}x \cdot (x - b) \cdot \mathrm{e}^x$$ und $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Die Abbildung 2 zeigt die Graphen von $g_2$, $g_3$ und $g_4$.

a

Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von $b$, für den der Graph von $g_b$ und der Graph von $f$ eine Figur bilden, die bezüglich der x-Achse symmetrisch ist. [2 BE]

$b =$

Für jeden Wert von $b \in \mathbb{R}_0^+$ ist eine Funktion $g_b$ mit $$g_b(x) = \frac{1}{10}x \cdot (x - b) \cdot \mathrm{e}^x$$ und $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Die Abbildung 2 zeigt die Graphen von $g_2$, $g_3$ und $g_4$.

b)

Berechnen Sie denjenigen Wert von $b$, für den der Tiefpunkt des Graphen von $g_b$ die x-Koordinate $2$ hat, und skizzieren Sie den zugehörigen Graphen von $g_b$ in der Abbildung 2.

c)

Für jeden Wert von $b$ haben die Graphen von $g_b$ und $g'_b$ einen gemeinsamen Punkt. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punkts.

Für jeden Wert von $b \in \mathbb{R}_0^+$ ist eine Funktion $g_b$ mit $$g_b(x) = \frac{1}{10}x \cdot (x - b) \cdot \mathrm{e}^x$$ und $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Die Abbildung 2 zeigt die Graphen von $g_2$, $g_3$ und $g_4$.

d) Für jeden Wert von $b$ schließen die Graphen von $g_b$ und $g_{b+1}$ im vierten Quadranten mit der x-Achse ein Flächenstück ein. Markieren Sie dieses Flächenstück für $b = 3$ in der Abbildung 2.

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $b$, für den der Inhalt des Flächenstücks $\frac{1}{10}\cdot\left(e^3 + 1\right)$ beträgt.