Abitur Hessen Mathematik 2020 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

In einem Koordinatensystem sind die Punkte $A(-1|1|2)$, $B(-1|5|2)$ und $C(-4|3|3)$ gegeben. Das Dreieck $ABC$ stellt modellhaft ein Sonnensegel dar, das zwischen drei Masten gespannt ist. Der horizontale Untergrund wird durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben. Eine Längeneinheit im Modell entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Auf das Segel trifft Sonnenlicht. Die zu den beiden unteren Eckpunkten des Segels gehörenden Eckpunkte seines Schattens auf dem Untergrund werden durch $A'(-5|3|0)$ und $B'(-5|7|0)$ dargestellt.

a)

Eine Gleichung der Ebene, die das Dreieck $ABC$ enthält, hat die Form $x_1 + 3x_3 = j$. Bestimmen Sie den Wert von $j$.

$j =$

Auf das Segel trifft Sonnenlicht. Die zu den beiden unteren Eckpunkten des Segels gehörenden Eckpunkte seines Schattens auf dem Untergrund werden durch $A'(-5|3|0)$ und $B'(-5|7|0)$ dargestellt.

d)

Ermitteln Sie im Modell die Koordinaten des Schattens des oberen Eckpunkts des Segels.

(zur Kontrolle: $(-10|6|0)$)

$C'($

$|$

$|$

$)$

In einem Koordinatensystem sind die Punkte $A(-1|1|2)$, $B(-1|5|2)$ und $C(-4|3|3)$ gegeben. Das Dreieck $ABC$ stellt modellhaft ein Sonnensegel dar, das zwischen drei Masten gespannt ist. Der horizontale Untergrund wird durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben. Eine Längeneinheit im Modell entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Auf das Segel trifft Sonnenlicht. Die zu den beiden unteren Eckpunkten des Segels gehörenden Eckpunkte seines Schattens auf dem Untergrund werden durch $A'(-5|3|0)$ und $B'(-5|7|0)$ dargestellt.

b)

Damit Regenwasser gut abfließen kann, soll das Segel so gespannt sein, dass es eine Neigung von mindestens 30 % aufweist. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.

c)

Die Seite des Segels, die parallel zum Untergrund verläuft, ist zum betrachteten Zeitpunkt 4 % länger als vor dem ersten Aufspannen des Segels. Berechnen Sie die Länge, die diese Seite vor dem ersten Aufspannen hatte.

e)

Stellen Sie den Schatten des Segels in der $x_1x_2$-Ebene grafisch dar und bestimmen Sie seinen Flächeninhalt.

2

Die Abbildung zeigt die Gerade $t: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$, die die Gerade durch die Punkte $R(-1|2|3)$ und $S(-1|4|3)$ nicht schneidet. Zu jedem Wert von $\lambda$ gehört ein Punkt $T_\lambda$ von $t$. Jeder Punkt $T_\lambda$ hat von $R$ und $S$ den gleichen Abstand.

Unter den Dreiecken $RST_\lambda$ hat eines den kleinsten Flächeninhalt. Begründen Sie, dass der zugehörige Wert von $\lambda$ die Lösung der folgenden Gleichung ist:

$$\begin{pmatrix} -1-\lambda \\ 0 \\ -4+3\lambda \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 0$$