Abitur Hessen Mathematik 2020 · GK · Teil A · Lineare Algebra

1 Aufgabe

Eine quadratische Matrix, bei der in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag 1 ist und die anderen Einträge 0 sind, heißt Vertauschungsmatrix. Multipliziert man eine solche Matrix mit einem Vektor, so hat der resultierende Vektor die gleichen Einträge wie der ursprüngliche Vektor, allerdings im Allgemeinen in anderer Reihenfolge.

Gegeben sind die Matrix $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ und der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

a

Berechnen Sie für $M$ und $\vec{v}$ den aus der Multiplikation resultierenden Vektor. [1 BE]

$\left(\vphantom{\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}}\right)$

b

Geben Sie die inverse Matrix zu $M$ an. [2 BE]

$\left(\vphantom{\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}}\right)$

c

Beschreiben Sie den Aufbau aller Vertauschungsmatrizen $N$ (mit drei Zeilen und drei Spalten), die folgende Bedingung erfüllen: Multipliziert man $N$ mit $\vec{v}$, so sind im resultierenden Vektor im Vergleich zu $\vec{v}$ genau zwei Einträge vertauscht. [2 BE]

Gegeben ist die Matrix $$A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\ -10 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

a

Die Matrix $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c \\ a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix}$$ ist die inverse Matrix zu $A$. Geben Sie die Werte von $a$, $b$ und $c$ an. [2 BE]

$a =$

$b =$

$c =$

b

Es gibt Vektoren $$\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \text{ mit } \vec{v} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$ für die $A \cdot \vec{v} = \vec{v}$ gilt. Ermitteln Sie einen dieser Vektoren. [3 BE]

$x =$

$y =$

$z =$

Betrachtet wird $M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c \\ a & 0 & 0 \\ d & b & 0 \end{pmatrix}$. Bestimmen Sie alle Zahlentupel $(a;b;c;d)$ mit ganzzahligen Werten von $a$, $b$, $c$ und $d$, für die $$M \cdot M = \begin{pmatrix} -10 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ 3 & 0 & -10 \end{pmatrix}$$ gilt.