Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña 2025 · Juny Serie 4

Exercici 1

Una botiga en línia tenia a la venda tres tipus de productes, que anomenarem A, B i C. L'Ares va comprar un producte de cada abans de les vacances de Nadal i va pagar 135 €. A les rebaixes de gener, la botiga va rebaixar l'article A un 4 %, l'article B un 6 % i l'article C un 5 % respecte al preu inicial. En veure-ho, l'Ares va decidir comprar un producte de tipus A, dos de tipus B i tres de tipus C, i va calcular que s'havia estalviat 16 € respecte del cost total de la mateixa compra sense oferta. Dues setmanes després, van començar les segones rebaixes i la botiga va rebaixar l'article A un 8 %, l'article B un 10 % i l'article C un 6 % respecte al preu inicial d'abans de Nadal. En veure-ho, l'Ares no se'n va poder estar i va fer una tercera compra. Aquest cop va adquirir tres productes de tipus A, un de tipus B i cinc de tipus C, i va calcular que s'havia estalviat 29 € respecte al preu total de la mateixa compra si l'hagués feta abans de les vacances de Nadal.

a)

Plantegeu un sistema d'equacions lineals que reculli la informació del problema. [0,75 punts]

b)

Calculeu el preu de cada article abans de les vacances de Nadal. [1,75 punts]

Exercici 2

Una empresa fabrica bicicletes convencionals i elèctriques. El responsable de qualitat de l'empresa ha mirat l'historial de vendes i ha calculat que el 5 % de les bicicletes convencionals havien tingut algun tipus de problema que n'havia requerit una revisió postvenda. En el cas de les bicicletes elèctriques, aquest percentatge era del 15 %. Actualment, el 25 % de la producció és de bicicletes convencionals i el 75 %, de bicicletes elèctriques.

a)

Si escollim una bicicleta a l'atzar, quina és la probabilitat que tingui algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda? Si la bicicleta escollida a l'atzar presenta algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda, quina és la probabilitat que sigui elèctrica? [1,25 punts]

b)

El responsable de qualitat creu que la dada segons la qual un 15 % de bicicletes elèctriques tenen algun problema que requereix el servei postvenda ha quedat desfasada. Considera que actualment tant la tecnologia com els controls de qualitat previs han millorat molt i aquesta proporció ha disminuït. Per a comprovar-ho, pren una mostra de 100 bicicletes elèctriques que ha venut en els darrers mesos i observa que només 8 han requerit una revisió postvenda.

A partir d'aquestes dades, trobeu un interval de confiança del 95 % per a la proporció de bicicletes elèctriques que tenen algun problema i requereixen una revisió postvenda. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que aquesta proporció ha disminuït? [1,25 punts]

FÓRMULES PER A RESOLDRE L'EXERCICI:

$Z \sim \text{normal}(0, 1) \rightarrow P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$ i $P(-2{,}58 \le Z \le 2{,}58) = 0{,}99$

Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma \in (0, 1)$:

— per a la proporció (mostres grans): $\left[ \hat{p} - z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right]$

Exercici 3

Un estudi estableix que el nombre de microorganismes vius en una mostra de laboratori, mesurat en desenes, és donat per la funció$$f(x)=\frac{15x}{9+x^2}+k,$$en què $x$ representa les hores transcorregudes des de l'inici de l'estudi.

a)

Determineu el valor de $k$ si sabem que a l'inici de l'estudi hi havia 50 microorganismes. Quin és el valor màxim de microorganismes al qual s'arribarà? En quin instant s'assolirà el màxim? [1,75 punts]

hores

b)

En quin valor s'estabilitzarà el nombre de microorganismes a llarg termini? [0,75 punts]

Exercici 4

Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes:

Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l'empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l'oli a 3 €/L, la farina a 0,6 €/kg i la sal a 1 €/kg. El segon proveïdor ven l'oli a 3,5 €/L, la farina a 1 €/kg i la sal a 0,7 €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l'oli a 2,5 €/L, la farina a 0,8 €/kg i la sal a 0,9 €/kg.

Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s'envasa la pasta. Posteriorment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin 500 g de mitjana.

Venda. L'estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat.

OPCIÓ A

a)

L'empresa necessita 300 litres d'oli, 700 kg de farina i 25 kg de sal. Escriviu aquesta informació juntament amb els preus per producte de cada proveïdor en forma matricial (deixant ben clar el que representen les files i les columnes) i calculeu mitjançant un producte de matrius el cost total de la comanda per cada proveïdor. Quin dels tres proveïdors és el més econòmic? [1,25 punts]

b)

Cada paquet de pasta té un cost total de producció de 0,5 €. Si l'empresa el ven per 1,1 €, es venen 1.000 paquets diaris de pasta. També han comprovat que la relació entre el preu de venda i el nombre de paquets venuts és lineal, de manera que per cada 0,01 € que s'apuja el preu de venda del paquet disminueix en 10 el nombre de paquets venuts. Anomenarem $x$ el nombre de cops que apugem 0,01 € el preu de venda del paquet.

Trobeu la funció que descriu el benefici diari en funció de $x$ i calculeu el valor de venda del paquet que fa que el benefici sigui màxim. Quin és aquest benefici? [1,25 punts]

Exercici 4

Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes:

Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l'empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l'oli a 3 €/L, la farina a 0,6 €/kg i la sal a 1 €/kg. El segon proveïdor ven l'oli a 3,5 €/L, la farina a 1 €/kg i la sal a 0,7 €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l'oli a 2,5 €/L, la farina a 0,8 €/kg i la sal a 0,9 €/kg.

Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s'envasa la pasta. Posteriorment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin 500 g de mitjana.

Venda. L'estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat.

OPCIÓ B

a)

L'empresa ha fet una gran comanda al primer proveïdor i s'ha gastat 1.320 €. Ha comprat el triple de farina que de sal. A més, la quantitat gastada en farina representa el 30 % dels diners gastats en oli. Quina quantitat de cada producte ha comprat? [1,25 punts]

b)

En el control de qualitat, s'ha pres una mostra a l'atzar del pes en grams de 9 paquets de pasta i s'han obtingut els valors següents:

501, 506, 497, 495, 503, 491, 512, 505, 499.

Construïu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del pes del paquet de pasta, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 4 g. A partir d'aquestes dades, raoneu breument si podem afirmar que l'etiqueta que diu que els paquets són de 500 g és incorrecta. [1,25 punts]