Exercici 2 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña Juny Serie 4 2025

Exercici 2

Una empresa fabrica bicicletes convencionals i elèctriques. El responsable de qualitat de l'empresa ha mirat l'historial de vendes i ha calculat que el 5 % de les bicicletes convencionals havien tingut algun tipus de problema que n'havia requerit una revisió postvenda. En el cas de les bicicletes elèctriques, aquest percentatge era del 15 %. Actualment, el 25 % de la producció és de bicicletes convencionals i el 75 %, de bicicletes elèctriques.

a)

Si escollim una bicicleta a l'atzar, quina és la probabilitat que tingui algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda? Si la bicicleta escollida a l'atzar presenta algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda, quina és la probabilitat que sigui elèctrica? [1,25 punts]

b)

El responsable de qualitat creu que la dada segons la qual un 15 % de bicicletes elèctriques tenen algun problema que requereix el servei postvenda ha quedat desfasada. Considera que actualment tant la tecnologia com els controls de qualitat previs han millorat molt i aquesta proporció ha disminuït. Per a comprovar-ho, pren una mostra de 100 bicicletes elèctriques que ha venut en els darrers mesos i observa que només 8 han requerit una revisió postvenda.

A partir d'aquestes dades, trobeu un interval de confiança del 95 % per a la proporció de bicicletes elèctriques que tenen algun problema i requereixen una revisió postvenda. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que aquesta proporció ha disminuït? [1,25 punts]

FÓRMULES PER A RESOLDRE L'EXERCICI:

$Z \sim \text{normal}(0, 1) \rightarrow P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$ i $P(-2{,}58 \le Z \le 2{,}58) = 0{,}99$

Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma \in (0, 1)$:

— per a la proporció (mostres grans): $\left[ \hat{p} - z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right]$